重子、冷暗物质与暗能量留下不同痕迹
重子加入声学流体的惯性，改变压缩与稀疏的相对峰高。冷暗物质形成引力势井，改变物质与辐射密度相等的时刻，又参与后来的结构增长。暗能量在晚期显著改变膨胀，从而改变到末次散射的距离，也影响势的演化与透镜。几条影响路径交叉，足以产生相似预测。
物理密度 与密度比例 也不能混用。前者决定同一红移下单位物理体积里的重子密度；后者还用今天的临界密度作分母。当 Hubble 常数变化时，两者的换算会变化。固定物理密度来探索几何，与固定密度比例来探索几何，是不同实验。其中 是无量纲的 Hubble 常数。
把一个精确角度换成 Hubble 常数
Planck 2018 论文第 3.1 节说明声学角尺度的精确测量。其摘要给出 。同一篇论文结合温度、偏振与透镜重建，在平直六参数宇宙学常数加冷暗物质模型下，推断 。这里引用的是百分之六十八区间。前者测一个角度，后者借助模型，把早期尺子和晚期距离联系起来。
声学张角的测量很稳，并不保证允许任意扩展后 Hubble 常数仍同样精确。放开曲率或暗能量状态方程，会出现额外的距离补偿。星系分布中的重子声学振荡，简称 BAO，留下了另一把声学尺。它测不同红移的径向与横向距离组合，超新星则给出相对光度距离。它们从别的方向限制这些补偿。
BAO 所用声视界 截止于重子摆脱光子拖曳的时期；微波声学角尺度用的 截止于末次散射。两个时期接近，数值仍有差别。二者都依赖早期物理，联合分析时必须分别计算。
本课程的超新星样本没有绝对亮度标定，不能独立提供 Hubble 常数。将它与声学网格并排，有助于理解信息方向；完整联合推断还要统一参数、选择函数与相关误差。
对应阅读：Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters · Pantheon+ public data release
额外早期辐射会同时动几把尺子
允许有效相对论粒子数 改变，会改变早期膨胀速率。更快膨胀通常缩短声音走过的时间，从而缩短声视界。但阻尼尺度、自由传播粒子引起的相位移动和核合成也会改变；只把整条峰列横向缩放，漏掉了可以检验这个扩展的信息。
Planck 论文图 35 把有效相对论粒子数与 Hubble 常数放在两个轴上。沿着彩色样本带，较多早期辐射可配合较快晚期膨胀，保持声学张角。黑色实线另加入透镜重建与 BAO，因此也改变了所用数据。读图时先跟踪数据组合，才能知道一条变窄的轮廓来自哪里。
读 Planck 论文第 7.5.2 节时，应先记下用了哪些温度、偏振、透镜与 BAO 数据，再看氦丰度和中微子质量是否固定。不同表格若采用不同条件，区间变化就未必来自新增数据本身。这里提供的是读模型的办法；声学实验只改变其网格明确列出的三个参数，辐射含量保持固定。
透镜振幅怎样帮助检查模型
上一章的 只乘固定会聚功率模板。它能检查公开带功率相对这个模板是否偏高，也能演示先验宽度如何改变证据。改变真实暗物质密度，会同时改变距离、结构增长、谱形和重建响应；一个整体振幅不能替代这些变化。
Planck 论文第 6.2 节的 又是另一种现象学参数：它调整计算温度与偏振峰平滑时使用的透镜强度。透镜重建利用更高阶相关来估计透镜场。这两条测量路径可以互相检查，但参数定义与所用信息不同。
一次复算可以从公开带功率开始：固定版本、模板、分箱和协方差，计算高斯振幅切片；然后明确下一步还缺哪些宇宙学响应和外部数据。这样就能把振幅切片的问题，接到完整物理模型需要回答的问题上。
对应阅读：Qu et al. · NASA LAMBDA · Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters
完整算例：怎样读两个不一致的估计
设两个教学观测独立、Gaussian，测同一量分别得到 与 ，单位相同。差值的方差是两个方差之和，差六个单位对应约 个差值标准差。这里的数字是算例，不对应某两项指定宇宙观测。
若两项观测共享标定，差值方差还要减去两倍协方差；若其中一个估计依赖某个宇宙学模型，换模型后估计与误差都可能改变。先验截断和非 Gaussian 尾部也会改变简单标准差比较。
一个扩展能降低最佳拟合残差，说明它增加了拟合自由度。要判断数据是否支持这份自由度，还要看独立预测、拟合改善出现在什么数据上，以及对先验范围是否稳定。一项新成分若能解释张力，还应给出原有观测之外、能够独立检验的预测。