光走过膨胀的宇宙，距离该怎么算

先给随膨胀漂走的位置编号

把跟随平均膨胀的星系标在固定坐标上，坐标之间的间距叫共动距离。实际距离还要乘尺度因子 $a(t)$ 。约定今天的尺度因子为一；过去的尺度因子较小，同样一段共动距离当时占据的实际长度也较短。

光的相邻波峰也被拉开。若发出时波长为 $\lambda_{\rm em}$ ，接收时为 $\lambda_{\rm obs}$ ，红移就是波长增加的相对量。看到红移为一的光，表示宇宙在它发出后把长度尺度放大了两倍。

1+z=\frac{\lambda_{\rm obs}}{\lambda_{\rm em}}=\frac{1}{a_{\rm em}},\qquad H=\frac{\dot a}{a}

红移与尺度因子无量纲。Hubble 参数表示每单位长度的膨胀速率，量纲为时间的倒数。

光每走过一小段时间，实际路程增加光速乘这段时间。换成共动长度，要再除以当时的尺度因子。由红移与尺度因子的关系，可把时间积分改写成红移积分。平直宇宙的径向共动距离记为 $\chi$ ，横向共动距离 $D_M$ 在这里与它相同。

观测亮度时，膨胀又做了两件事：每个光子能量降低，光子到达的间隔也拉长。把这些影响连同球面扩散吸收入距离，就得到光度距离。观测角大小时，我们需要光发出那一刻的实际横向长度，于是得到角直径距离。

\chi(z)=c\int_0^z\frac{dz'}{H(z')},\quad D_L=(1+z)\chi,\quad D_A=\frac{\chi}{1+z}

距离均可用百万秒差距表示。关系

D_L=(1+z)^2D_A

假设光沿度规的零测地线传播，且光子数守恒。弯曲空间需要另算横向共动距离。

观测者光源

光从右侧光源走到左侧；膨胀史决定这段共动距离。

D_L=(1+z)\chi,\quad D_A=\chi/(1+z)

平直空间示意。光度距离描述亮度，角直径距离描述视大小。

物质被稀释到三维体积中，密度随尺度因子的三次方下降。辐射除了被稀释，每个光子的能量也随膨胀降低，因此多一个因子。宇宙学常数的能量密度保持不变。把这些分量放进 Friedmann 方程，就能计算光路积分。

用 $\Omega_i$ 表示各分量今天的密度与临界密度之比。在平直、含物质、辐射及常状态方程暗能量的背景中，暗能量的压强与能量密度之比记为 $w$ 。宇宙学常数对应 $w=-1$ 。这里的公式只算均匀背景；暗能量的扰动还需要另给模型。

\frac{H^2(z)}{H_0^2}=\Omega_r(1+z)^4+\Omega_m(1+z)^3+\Omega_{\rm de}(1+z)^{3(1+w)}

平直条件给出

\Omega_r+\Omega_m+\Omega_{\rm de}=1

。微波背景时代的积分必须保留辐射；低红移超新星算例可以采用忽略辐射的近似。

先用一个理想背景检验计算。取平直、纯无压物质宇宙，今天 $H_0=70\;\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$ 。此时膨胀函数只剩红移加一的三次方开根号。它的倒数可以直接积分，省去了数值方法。

对红移为一的光源，共动距离约为 $2509\;\mathrm{Mpc}$ ，光度距离约为 $5018\;\mathrm{Mpc}$ ，角直径距离约为 $1254\;\mathrm{Mpc}$ 。三个数描述同一个光源，各自回答不同的观测问题。若程序把它们算成同一个值，距离定义就用错了。

\chi(z)=\frac{2c}{H_0}\left[1-\frac{1}{\sqrt{1+z}}\right]

把纯物质背景代入距离积分即可得到这个解析式。它也是已有超新星距离模型的独立检验。

到某个红移的距离只积到那个光源发出时。粒子视界则从宇宙早期一直积到今天，问的是信号最多来得及跨过多少共动距离： $\chi_{\rm hor}=c\int_0^{t_0}dt/a(t)$ 。上限和下限改变了，问题也改变了。

声音在早期光子与重子组成的流体中传播得更慢。把光速换成随时间改变的声速，并把积分停在末次散射，就得到声视界。下一步会用这把早期尺子测天空中的角度。