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Sandbox Physics
宇宙距离阶梯怎样获得尺度

L3 · 宇宙距离阶梯

用协方差拟合距离阶梯的共同误差

Sandbox Physics ·

共同锚误差会让几个拟合距离一起移动。协方差矩阵记录这种联动，帮助拟合区分一项共同不确定度和多次独立测量。先算两座星系的简单例子，再推导冻结八十七行子系统采用的完整线性拟合。

两座星系沿用同一个起始长度

设每个宿主模数包含一项共同锚误差，以及各自独立的比较误差。假定误差均值为零，独立比较误差与锚无关。方差是偏离真值的平方平均；协方差是两个偏离相乘后的平均。协方差为正，表示两者常向同一方向偏。

取锚误差0.032星等，两个独立宿主误差0.050与0.080。宿主方差分别为0.003524、0.007424平方星等，共同协方差为0.001024。两宿主模数相减，共同锚误差精确抵消，剩余方差0.008900，标准差0.09434星等。若把两项总误差当独立量，会算得0.10463星等，漏掉这次抵消。

μi=μi,true+a+ei,Cov⁡(μ1,μ2)=σa2,Var⁡(μ2−μ1)=σe12+σe22\mu_i=\mu_{i,\mathrm{true}}+a+e_i,\quad \operatorname{Cov}(\mu_1,\mu_2)=\sigma_a^2,\quad \operatorname{Var}(\mu_2-\mu_1)=\sigma_{e_1}^2+\sigma_{e_2}^2
共同随机量 a 在每个距离中各出现一次，在差里系数为零，在平均距离里系数仍为一；平均两个宿主也缩不小这项误差。

对应阅读：Riess et al. · Reid

先把相关误差变成独立单位误差

把预处理观测排成列 y，设计矩阵 A 把参数列 q 映射成预言，残差取观测减预言。C 为观测协方差，单位平方星等。普通残差平方和会把一次共同波动重复计算；用逆协方差加权，才是在允许的相关误差尺度上衡量残差。

正定协方差可以分解成一个下三角矩阵乘其转置，这叫 Cholesky 分解。对每个设计列和观测列求解对应三角方程，变换后的误差协方差便成单位矩阵。在这个新系统上做普通最小二乘，就等于原系统的广义最小二乘，也不必显式求大型观测协方差的逆。

C=LLT,A~=L−1A,y~=L−1y,χ2=∥y~−A~q∥2C=LL^{\mathsf T},\quad \widetilde A=L^{-1}A,\quad\widetilde{\boldsymbol y}=L^{-1}\boldsymbol y,\quad\chi^2=\|\widetilde{\boldsymbol y}-\widetilde A\boldsymbol q\|^2
求解三角方程即可算出逆乘，范数平方就是白化残差的平方和。如果正定检查失败，应先诊断数据或模型，再继续拟合。

对应阅读：Riess et al. · PantheonPlusSH0ES DataRelease

对二次式求导，解出拟合

展开白化残差平方，对每个参数求导，再令导数为零，得到正规方程。如果每条参数方向都会改变某些观测预言，正规矩阵就可逆。在指定线性模型与已知高斯观测协方差下，估计量协方差等于正规矩阵的逆。

这份不确定度保留所有参数交叉项。造父星零点、宿主模数和超新星光度可以部分相互补偿，只看对角线就看不到这些组合。移除锚后正规矩阵奇异，正好对应上一章找到的零向量。

q^=(ATC−1A)−1ATC−1y,S=(ATC−1A)−1\widehat{\boldsymbol q}=(A^{\mathsf T}C^{-1}A)^{-1}A^{\mathsf T}C^{-1}\boldsymbol y,\qquad S=(A^{\mathsf T}C^{-1}A)^{-1}
估计值是观测列的线性变换。把观测协方差 C 沿这个线性映射传播，得到 S。程序直接求解分解后的方程。

对应阅读：Riess et al.

小心变换对数哈勃误差

拟合在对数参数 u 上为高斯，方差是 S 的第八个对角元。u 上正负一个标准差的区间，单调变换后得到不对称哈勃区间。对拟合 u 取指数，是这里使用的中心，也就是变换后高斯参考曲线的中位数；若看概率密度最高点，它会略低，因为变量替换还包含雅可比因子。

若作贝叶斯解释，给八个线性参数均匀密度，在满秩时会得到这一正规高斯后验；发布摘要行仍属于所条件化的模型。直接给哈勃常数均匀密度，是另一种先验。没有锚时，线性参数均匀密度沿自由尺度不可归一，因此只显示平坦似然剖面和可辨认相对距离。

H0,med=10u^/5,I68.27%=[10(u^−σu)/5, 10(u^+σu)/5]H_{0,\mathrm{med}}=10^{\widehat u/5},\qquad I_{68.27\%}=\left[10^{(\widehat u-\sigma_u)/5},\,10^{(\widehat u+\sigma_u)/5}\right]
哈勃常数数值采用千米每秒每 Mpc。变换后的密度包含五除以 H0 与自然对数十之积的因子；固定线性高斯模型下，单调变换前后的置信区间覆盖率相同。

对应阅读：Riess et al. · PantheonPlusSH0ES DataRelease

保存结果同时展示共同与相对精度

选定子系统有87项观测、八个参数，条件哈勃值为66.3049，中央区间为62.2356—70.6403千米每秒每 Mpc，实际造父星斜率为每 dex 负3.51866星等。这里只用两个标定超新星宿主，以及发布的金属丰度和宽斜率摘要；它回答的是比完整论文更小的问题。

两个宿主模数的相关系数为0.6353，模数差为3.84091±0.109103.84091\pm0.10910星等。只把锚标准差放大八倍，绝对距离误差会变大，相对模数方差却在数值精度内保持原值。开头两座星系的共同误差抵消，在联合拟合里再次出现。

计算哈勃中位数相对模数标准差，星等
完整选定协方差66.30490.109103
仅对角误差对照66.82890.0888183
去掉发布金属丰度摘要68.31780.139186
移除绝对锚尺度自由0.109103

对应阅读：PantheonPlusSH0ES DataRelease · Riess et al.

亲手观察

把共同误差与相对精度分开

  1. 在“距离阶梯”中保持零点偏移为零，把“共同锚误差的倍数”增至八倍，先预测哈勃区间与相对模数误差怎样变化。
  2. 展开共同协方差后移除锚，解释为什么绝对区间消失，相对模数误差仍存在。

练习与答案

两座星系共有0.04星等锚误差，各有0.06星等独立误差。平均模数和模数差的误差分别是多少？

平均值保留完整锚方差，加上一半独立方差：0.0016加0.0018，标准差为0.05831星等。差值抵消锚，方差为两倍0.0036，标准差0.08485星等。

仅对角误差拟合的哈勃值恰好接近相关拟合，能否据此认为误差条正确？

不能。中心值与协方差涉及不同矩阵组合。保存算例的中位数只变一点，相对模数标准差却从0.10910缩到0.08882。应比较完整协方差与每个可辨认参数组合的不确定度。

把共同误差模型用到两支共用参考源的温度计。哪个量能因共同标定抵消而更准确？

两支温度计的温差会抵消共同加性标定误差，平均绝对温度仍带着它。代数上与星系相对模数和绝对距离尺度的区别相同。

来源与计算范围

  1. Riess et al., A Comprehensive Measurement of the Local Value of the Hubble Constant, arXiv:2112.04510 v 3 (2022)

    第2.1节与第4节定义联合模型和标定；第5节、表5、图14—16给出完整拟合与相关性，第6—7节讨论变体和比较。课程所述论文结论固定在这一版本。

  2. PantheonPlusSH0ES DataRelease, commit c447f0fea703fcd0fff57de5000947b5ca81286b

    ally、alll、allc FITS 数组包含3492项预处理观测、47个参数列及完整协方差。公开教程保留其中87项观测与涉及的全部非零模型列。table2.README 明确提醒，不能只拿表2的对角误差重新拟合。

  3. Reid, Pesce & Riess, An Improved Distance to NGC4258 and its Implications for the Hubble Constant, arXiv:1908.05625 v 2 (2019)

    水脉泽几何距离为7.576 Mpc，统计误差0.082 Mpc、系统误差0.076 Mpc。论文也用此锚标定红巨星支尖端，并讨论起点、终点相同时的比较。

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