先认出哪些数是观测
微波背景光子经过引力场，方向会有微小偏折。这些偏折在相邻方向上彼此相关，可以用来重建会聚场。会聚描述附近光线朝一起靠拢的程度，是无量纲量。ACT DR6 把它的功率谱按多极矩分箱，也公开了各箱误差之间的协方差。
在 NASA LAMBDA 的 ACT_dr6_likelihood_v1.2.tgz 中，clkk_bandpowers_act.txt 存放带功率。从零开始编号，取第二行到第十一行；covmat_act_cmbmarg.txt 取相同的行和列。binning_matrix_act.txt 中对应的十个窗口覆盖四十至七百六十三阶多极矩。每个窗口把一段多极矩加权平均，图上的箱中心只是画点的位置。
这里选的是 ACT 单独测量、已对主微波背景不确定度做边缘化的协方差。遮罩、波束、滤波和重建偏置已经进入公开产品。浏览器直接拟合这些数。要查它们怎样得到，先看论文第五节第十一小节的协方差模拟，再看第九节第一小节的似然。
对应阅读：Qu et al. · NASA LAMBDA
先选定谱形，再谈振幅
参考谱采用产品附带的 cosmo2017_10K_acc3_lenspotentialCls.dat。第六列存放经过尺度化的透镜势功率谱，按公开软件的约定，乘以二倍圆周率再除以四，就得到会聚功率。接着用窗口矩阵分箱，得到十个参考值。算到这一步，功率均为无量纲量，不再另乘多极矩或角面积因子。
是分箱后的参考谱；模型预测 。这里的 只缩放固定会聚谱的功率。它和温度谱中改变峰平滑程度的现象学参数不同，也没有单独改变物质密度或暗能量状态方程。
论文图二十五以 Planck 2018 最佳拟合模型作参考，给出的振幅为一点零一三，误差为零点零二三。这里用了附带的 cosmo2017 参考谱，还固定了重建响应的宇宙学依赖。下面的数字回答的是这个条件问题。拿两者比较时，最该带上的信息就是参考谱和似然设置。
对应阅读：Qu et al. · NASA LAMBDA · Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters
相关的误差要一起算
似然回答：如果振幅取这个值，眼前这组观测有多容易出现？式四十五把带功率误差近似成高斯分布。相邻箱一起偏高，可能本来就是一种常见的相关起伏；完整协方差决定它该算多大的意外。
把十个观测记作 ，公开协方差记作 ，修正后的精度矩阵写成 。论文用七百九十二次模拟估计协方差，保留十个箱时，Hartlap 因子为 。它修正有限模拟次数带来的逆协方差偏差。将振幅的二次式配方，就能直接读出最佳拟合与条件误差。
把冻结数组代入，振幅为零点九八四八四三，标准差为零点零二四九零四九，最小卡方为十三点六八六五。固定这个谱形，只拟合一个振幅，十个箱留下九个残差维度。Cholesky 求解和独立 NumPy 求解得到相同结果。若只保留协方差对角元，同一批偏差会被重新分配权重，拟合也随之改变。
对应阅读：Qu et al. · NASA LAMBDA
把响应的不确定度积分掉
假设响应还有一个额外偏移，改变预测的方式恰好与信号振幅相同。给它一个均值为零的高斯分布，再把可能的偏移积分掉，这就叫边缘化。现在数据中的一部分起伏，也可能来自响应。
模型写成 ，其中 ，，两者独立。积分后，有效协方差是 。新增项沿着振幅所改变的同一个方向，因此拟合中心不动，振幅方差增加 。
例如，把额外响应标准差设成零点零八，振幅误差就从约零点零二四九增至零点零八三八。这个额外响应是教学假设，默认取零。ACT 已发表的不确定度已经在原协方差中；这里新增一项，是为了看清完全退化的干扰参数怎样拓宽误差。
对应阅读：Qu et al. · NASA LAMBDA
参数估计和模型证据为什么分开变化
均匀先验在选定区间内给相同的概率密度，区间外取零。它乘上似然，再归一化，就得到后验。如果先验远比似然峰宽，继续放宽时，后验中心和区间几乎不动。证据却会变，因为它要在整个归一化先验上平均似然。
比较振幅自由的模型与振幅固定为一的模型。把先验半宽从零点二五放到零点八，对数证据比约下降一点一六，后验几乎原样保留。新纳入的振幅多数拟合较差，拉低了平均值。若把窄先验放在似然峰旁边，后验还会被先验边缘截住；那条区间就同时反映了观测与所选假设。
下次读另一份数据，先记下谱的定义、保留窗口、完整协方差、模拟修正和固定理论，再写清归一化先验与比较的两个模型。这几项齐全，别人才能重算那个振幅。天空重映射示意图用合成场解释偏折，ACT 实测点则单独留在数据图中。
对应阅读：Qu et al. · NASA LAMBDA