FR08 · 数据怎样限制一个振幅

宇宙学似然与先验

同一组天空数据，为什么能给出稳定的估计，却改变模型偏好？ 似然很集中时，放宽先验几乎不改变振幅估计。模型证据却要在整个先验范围内取平均；范围越宽，拟合较差的振幅占得越多，自由振幅模型得到的支持就可能下降。

用 ACT DR6 公开的透镜带功率拟合振幅。放宽先验，或加入额外响应不确定度，比较似然、后验和模型证据。

后验均值与标准差 $0.985\pm0.0249$

中央百分之六十八区间 $[0.96,1.01]$

不限振幅范围的最小卡方 $13.7$

自由与固定模型的对数证据比 $-1.9$

改变先验

试探功率振幅

1

A_\kappa

先验中心

1

A_{\mathrm{centre}}

先验半宽

0.25

\Delta A

让观测保持不动，改变推断的假设。拖动发光手柄，查看一个试探振幅。

数据、模型与响应不确定度

额外振幅不确定度

0

s_g

ACT DR6 透镜 v1.2，基线多极矩范围从四十到七百六十三。计算使用公开的完整协方差，误差棒只显示其对角元素。

额外振幅不确定度是假设的高斯响应偏移，叠加在公开协方差上，用来演示边缘化；默认分析取零。

自由模型采用归一化均匀先验，固定模型的振幅等于一。两者使用相同的干扰参数先验和协方差。

Qu et al., Eq. 45 · NASA LAMBDA

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模型假设

观测点与完整协方差取自 ACT DR6 透镜 v1.2 公开产品。采用产品附带的固定会聚谱，并用公开窗口矩阵分箱，只改变谱的整体振幅。带功率似然为高斯形式，包含标明的 Hartlap 修正；重建响应和偏置的宇宙学依赖保持固定。可选的额外响应振幅不确定度是教学干扰参数，叠加在公开协方差之上。天空重映射是放大偏折的合成示意，与实测带功率分开展示。这里的条件振幅不同于温度谱的透镜参数，也不直接测量暗能量或物质密度。

公开的会聚带功率

10^7 C_L^{\kappa\kappa}

归一化先验、后验与单位面积似然

A_\kappa

蓝色：似然琥珀色虚线：先验绿色：后验

怎样读证据比

对数证据比为正时，在当前先验和固定谱形下，自由振幅模型更受支持；为负时更支持振幅固定为一。这个比较没有检验完整的宇宙学扩展。

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先抓重点

核心问题: 为什么放宽先验时，证据比拟合振幅变得更明显？
一句话直觉: 后验描述一个模型内部哪些振幅更可信，证据则把整个先验范围内的拟合取平均。

核心数学模型

用一个振幅缩放固定谱

m_b(A_\kappa)=A_\kappa\sum_L W_{bL}C_{L,\mathrm{fid}}^{\kappa\kappa},\qquad\chi^2=(d-m)^\mathsf{T}\Sigma^{-1}(d-m)

窗口矩阵把参考会聚谱分箱。完整协方差保留观测箱之间的相关性，有效协方差还包含标明的有限模拟次数修正。

后验与证据

p(A_\kappa\mid d,M)=\frac{\mathcal L(d\mid A_\kappa,M)\pi(A_\kappa\mid M)}{Z_M},\qquad Z_M=\int\mathcal L\pi\,dA_\kappa

均匀先验的积分等于一。固定模型把振幅取为一；自由模型在所选先验内取平均。证据比比较的就是这两个条件模型。

把不确定的响应积分掉

d=(A_\kappa+g)t+\epsilon,\quad g\sim\mathcal N(0,s_g^2),\quad\Sigma=C/h+s_g^2tt^\mathsf T

可选的额外振幅偏移与信号振幅完全退化。把它积分掉，振幅误差会变宽。它的宽度是明确的教学设置，独立于 ACT 已发表的不确定度模型。

常见难点

似然不是模型的概率分布

容易误解两个模型的最佳拟合一样好，数据对它们的支持就一样。

正确理解一个自由参数范围很宽的模型，可能只有很小一段先验能拟合好。证据会计入这段所占的比例，最佳拟合本身没有包含这条信息。

动手实验

01
先看观测给出的宽度
选“数据决定宽度”，比较似然和后验。
你会看到： 先验比似然宽得多、局部又平坦时，集中的似然几乎原样进入后验。
02
给自由模型更大的范围
选“先验放得更宽”，比较后验区间和对数证据比。
你会看到： 区间几乎不动，平均时纳入更多拟合差的振幅，自由模型的证据会下降。
03
让响应也有不确定度
选“响应也不确定”，再增大“额外振幅不确定度”。
你会看到： 额外响应偏移能模仿一部分信号，同一组观测便允许更宽的信号振幅。

宇宙学似然与先验

一组实测谱，不同先验

把参数估计与模型比较分开

核心数学模型

用一个振幅缩放固定谱

后验与证据

把不确定的响应积分掉

常见难点

似然不是模型的概率分布

动手实验

先看观测给出的宽度

给自由模型更大的范围

让响应也有不确定度

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