望远镜给天空添了什么

先给测量写一个方程

用 $a_{\ell m}$ 表示真实温度天空的一个球谐系数，单位取微开尔文。若完整观察全天、波束又处处圆对称，记录到的系数 $b_{\ell m}$ 就等于经过波束衰减的天空，加上仪器噪声 $n_{\ell m}$ 和有效前景 $f_{\ell m}$ 。这里的前景已经包含该观测通道的响应。

高斯波束常用半高全宽 $\theta_{\mathrm{FWHM}}$ 描述：从波束一侧的半高点走到另一侧，夹角有多大。先把它换成弧度，再算标准差 $\sigma_b$ 。球谐振幅乘上 $B_\ell$ ，功率则乘它的平方。波束越宽，细小斑块越容易在平均中抵消，大斑块受影响较小。

b_{\ell m}=B_\ell a_{\ell m}+n_{\ell m}+f_{\ell m},\qquad B_\ell=\exp\!\left[-\frac{\ell(\ell+1)\sigma_b^2}{2}\right]

这种逐个球谐模式相乘的写法，要求各个方向使用相同的圆对称波束。波束不对称或处理随方向变化时，响应需要写得更一般。

\sigma_b=\frac{\theta_{\mathrm{FWHM}}}{\sqrt{8\ln2}}

这个因子来自高斯函数的半高点位置，把半高全宽换成标准差。

对应阅读：Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters

算一束十角分宽的波束

取一个教学例子：波束半高全宽为 $10\,\mathrm{arcmin}$ ，观察 $\ell=1000$ 的模式。角度换算得到 $\theta_{\mathrm{FWHM}}=10\pi/(180\times60)=0.00291\,\mathrm{rad}$ ；再除以高斯宽度因子，得到 $\sigma_b=0.00124\,\mathrm{rad}$ 。代入指数，振幅剩下 $B_{1000}=0.466$ ，功率剩下 $B_{1000}^2=0.217$ ，约为原来的两成二。

既然知道衰减，能不能把功率除以 $B_\ell^2$ ，全部补回来？信号的平均响应能补回，噪声功率也会一起放大。这个例子会把加性噪声功率放大 $1/B_{1000}^2=4.61$ 倍。分辨率损失有统计代价；波束宽度本身若不够确定，还要另算这份误差。

遮住银河，也会混合不同的角尺度

银河辐射太强时，分析往往给地图乘一个权重 $W(\hat{\boldsymbol n})$ ，把污染严重的方向压低或去掉。球谐函数原本靠完整球面上的积分彼此正交。天空被遮掉一部分，原先分开的系数就会混在一起。直接从加权地图算出的功率叫作伪功率谱。

它的平均值要经过一个由遮罩决定的耦合矩阵 $M_{\ell\ell'}$ 。仅仅知道还剩多少天空，不足以判断哪些模式混在一起。实际分析要按采用的遮罩、滤波和分箱计算响应，也计算误差之间怎样相关。

相邻带功率因此可能有相关误差。图上每个点各画一根竖误差棒，看起来很直观，却还没有交代拟合所需的全部统计信息。

\left\langle\widetilde C_\ell\right\rangle=\sum_{\ell'}M_{\ell\ell'}B_{\ell'}^2C_{\ell'}+\left\langle\widetilde N_\ell\right\rangle

这里写的是前景处理之后、统计各向同性信号的平均关系，遮罩已知。实际若还有滤波与像素响应，需要继续把相应因子放进来。

对应阅读：Hivon et al.

从随机分布走到参数推断

先退回一个能完整算清的例子：天空是高斯随机场，观测覆盖全天，噪声也是各向同性高斯噪声，前景已去除。把总观测功率记为 $S_\ell=B_\ell^2C_\ell+N_\ell$ 。估计量 $\widehat C^{\mathrm{obs}}_\ell$ 是一组高斯系数的平方和，因此适当缩放后服从卡方分布。低阶只有少数模式，分布会明显偏斜。

每个功率分箱容纳很多模式时，高斯近似可能好用。协方差仍要包含遮罩、噪声和处理过程的影响。Planck 的低阶与高阶数据采用不同的似然构造；理想全天公式适合帮助理解起点。

尘埃振幅、定标和波束参数会改变测量，但通常不是研究宇宙时最关心的量，统称干扰参数。把它们固定在一个值上，得到的是这个条件下的结果。边缘化则按先验 $\pi(\boldsymbol\eta)$ ，把允许的取值都积分进去。若前景变化能模仿宇宙学变化，把这份不确定度带进来，推断范围通常会变宽。对干扰参数取最大似然值称为轮廓化，运算又不同。

下一章用公开带功率做一个限定分析。模板与协方差固定下来，每一步就能复算，也能说清最后推断的究竟是哪一个量。

\frac{(2\ell+1)\widehat C^{\mathrm{obs}}_\ell}{S_\ell}\sim\chi^2_{2\ell+1},\qquad -2\ln\mathcal L=\sum_\ell(2\ell+1)\left[\ln S_\ell+\frac{\widehat C^{\mathrm{obs}}_\ell}{S_\ell}\right]+\mathrm{const}

这个精确似然限于完整球面上相互独立的高斯球谐模式。常数项与模型功率无关；对数中默认除以一个固定的功率单位。

\mathcal L_{\mathrm{marg}}(\boldsymbol\vartheta)=\int\mathcal L(d\mid\boldsymbol\vartheta,\boldsymbol\eta)\,\pi(\boldsymbol\eta)\,d\boldsymbol\eta

这里 d 表示数据，vartheta 表示宇宙学参数，eta 表示干扰参数。要形成后验，还要乘宇宙学参数自己的先验。

对应阅读：David Tong · Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters

望远镜给天空添了什么

先给测量写一个方程

算一束十角分宽的波束

遮住银河，也会混合不同的角尺度

从随机分布走到参数推断

动手检验预测

让前景辐射进入温度拟合

让同一片天空经过不同波束

练习与解释性答案

来源与计算范围