用同一组模式拼出温度图
每个球谐函数都是铺在整个球面上的一种图案，实系数决定它有多强，单位为微开尔文。教学天空去掉了平均温度与偶极项。
F-X1b · 波束越宽，小斑块越先消失
宇宙微波背景天空与角功率谱
望远镜波束变宽时，天空的小斑块为什么先被抹平？ 宽波束把相邻方向的温度混在一起。小的冷热斑块在波束内互相抵消，角功率很快下降；大斑块在同样范围内变化较小，能保留更多温差。
在合成全天温度图上拖动接收机波束。把波束调宽，比较剩下的斑块与从同一片天空算出的角功率谱。
原始天空温差均方根
平滑天空温差均方根
剩余功率
合成模型数据
大斑块与小斑块的功率
蓝色虚线为原始合成天空，青色为同一组系数经过波束平滑后的功率。每个点对应一个球谐阶数；阶数越高，斑块越小。
来源与定义
功率采用正交归一球谐函数的定义，波束采用理想圆对称高斯模型。有限阶球谐天空用于教学，两条功率谱都直接由系数计算。 HEALPix conventions · Gaussian beam
物理教程
宇宙微波背景天空与角功率谱
背景望远镜波束会把一小片天空的光混在一起。角功率谱把温差按斑块大小分开，告诉我们哪些尺度变化强。球谐阶数越高，描述的斑块越小。
为什么值得理解天空看起来平滑，可能是原本就少了小斑块，也可能是接收机把它们抹平了。保持天空不变，只改波束，就能看清后一种效应。
先抓重点
- 核心问题
- 望远镜波束变宽时，天空的小斑块为什么先被抹平？
- 一句话直觉
- 波束宽度会改变测到的天空，小尺度温差损失最快。
核心数学模型
每个阶数上的功率
同一阶数的系数平方取平均，就得到该阶功率。图中还乘上阶数与阶数加一，再除以两倍圆周率，方便比较。
圆对称高斯波束
波束宽度要用弧度。平滑让每个球谐系数乘上波束窗函数，功率便乘上窗函数的平方。
常见难点
怎样解释测量结果
容易误解高阶功率很低，就说明原始天空里没有多少小斑块。
正确理解接收机波束太宽，也会压低这些功率。解释观测功率谱时，需要同时知道波束响应。
动手实验
- 01
比较两种天空视图
选“清晰天空”，切换“波束看到的天空”和“原始天空”。
你会看到： 波束宽度为零时，两幅图与两条功率曲线重合。 - 02
把波束调宽
选“宽波束”，在同一色标下切换天空视图。
你会看到： 小的冷热斑块一起变淡。青色曲线的高阶端下降最明显。 - 03
给天空增加小斑块
选“小斑块”，再缓慢增加“波束宽度”。
你会看到： 原始天空在七阶至十二阶有更多功率，接收机波束又抹去了其中不少细节。 - 04
换一次随机实现
点“换一片天空”，同时看天空图和功率曲线。
你会看到： 新的随机系数改变斑块的位置和实际功率，两处显示都由这同一片新天空更新。