微小起伏怎样长成结构

密度的起伏要相对于同一时刻来比

密度对比度 $\delta=(\rho-\bar\rho)/\bar\rho$ 是局部密度超过平均值的比例。这里的“同一时刻”需要明确：不同坐标选择会把事件分到不同时间切片，而平均密度本身也随时间改变。大尺度的密度扰动因此带有规范依赖。

本课程讨论相对论扰动时采用共形 Newton 规范：用共形时间 $\eta$ ，令 $dt=a\,d\eta$ ；令光速为一。时间势 $\Psi$ 决定引力红移与加速度，空间势 $\Phi$ 描述空间几何的微扰。只有在可忽略各向异性应力时，两者才相等。

ds^2=a^2(\eta)\left[-(1+2\Psi)d\eta^2+(1-2\Phi)d\mathbf{x}^2\right]

背景是空间平直的 FLRW 时空。两个势无量纲；不要把一个规范下的密度数值直接与另一个规范的初值拼接。

先缩小到 Hubble 尺度以内、速度较慢的无压物质。用宇宙时间 $t$ 和共动位置 $\mathbf{x}$ ，特殊速度 $\mathbf{v}=a\dot{\mathbf{x}}$ 表示相对于平均膨胀的运动。连续性方程说流入越多，密度越高；Euler 方程说引力加速物质，而膨胀削弱特殊速度。

这里假设引力势的起伏由物质密度提供，其他平滑成分只改变平均膨胀。平均物质质量密度记为 $\bar\rho_m$ ，单位为质量除以体积。记速度散度 $\theta=\nabla\cdot\mathbf v$ ；它描述流体在一点附近流出或汇入的快慢。梯度都对共动坐标求。

对连续性方程求导时，除速度散度外，分母的尺度因子也在变。于是得到 $\ddot\delta=-\dot\theta/a+H\theta/a$ 。Euler 方程又提供一个相同的膨胀项，合起来才有增长方程中的二倍 Hubble 阻尼。最后用 Poisson 方程把势换成密度起伏。

\dot\delta=-\theta/a,\quad\dot\theta+H\theta=-\nabla^2\phi/a,\quad\nabla^2\phi=4\pi G a^2\bar\rho_m\delta

这里

\phi

是有速度平方单位的 Newton 势，满足

\phi=c^2\Psi

的亚视界近似。

\ddot\delta+2H\dot\delta-4\pi G\bar\rho_m\delta=0

引力项促进增长，膨胀项抑制特殊运动。此式适用于亚视界的线性无压物质；辐射及其他显著聚集的成分需要同时求解。

取平直纯物质背景，此时 $a\propto t^{2/3}$ 、 $H=2/(3t)$ ，Friedmann 方程给出 $4\pi G\bar\rho_m=2/(3t^2)$ 。试一个幂函数 $\delta\propto t^p$ ，每项都有相同时间幂，剩下关于指数的二次方程。

两个根分别是三分之二与负一。增长模随尺度因子增长，衰减模随时间倒数减小。在同一模型、纯增长模且始终线性的条件下，尺度因子加倍，原来千分之一的密度起伏变成千分之二。走到密度对比度接近一时，这套线性展开就需要更换。

p(p-1)+\frac43p-\frac23=0\quad\Rightarrow\quad\delta_+\propto a,\quad\delta_-\propto t^{-1}

把解析解代回原微分方程可逐项抵消。这提供了求解器应当满足的极限。

对应阅读：David Tong

把扰动拆成共动波数 $k$ 的正弦波，压强就给方程增加与 $c_s^2 k^2/a^2$ 成正比的恢复项。短波有更陡的压强梯度，容易振荡；长波更容易被引力拉大。这是 Jeans 判据的直观来源。

早期光子与重子紧密耦合，光子提供大部分压强，重子增加惯性。冷暗物质不承受这份光子压强，仍能形成引力势井。相同初始起伏，因成分不同而走出不同的演化；微波背景峰高因此能提供成分信息。下一章把这份恢复力写成一个振子。