早期宇宙的声音为什么留下峰

光子推，重子增加惯性

电子频繁散射光子，电子与原子核又靠电相互作用保持联系。在紧耦合近似下，光子和重子几乎共同运动。光子压强提供恢复力；重子质量让流体更难加速。用重子与光子密度的比值 $R=3\rho_b/(4\rho_\gamma)$ 量化这份额外惯性。两种密度都用能量除以物理体积表示。

声速为 $c_s=c/\sqrt{3(1+R)}$。重子越多，声速越低。真实宇宙里重子密度与光子密度的稀释速度不同，$R$ 随膨胀增大，因而声音每个时期走过的距离都不同。

对应阅读：Hu & Sugiyama

完整算例：势井中的一个振子

令光子温度单极扰动为 $\Theta_0=\delta T/T$，取第二章的时间势 $\Psi$。在光速为一、势不随时间变、重子负载固定且忽略流体摩擦项的近似下，压缩模式满足下面的受迫振子方程。撇号表示对共形时间求导。

观测温度还包括从势井爬出来的引力红移，先定义 $X=\Theta_0+\Psi$。把势能造成的常量偏移移到左侧，方程就变成绕新平衡点振荡的普通余弦；初始速度取零。

对应阅读：Hu & Sugiyama

算一对压缩与稀疏的极值

取一个固定势井，令 $\Psi=-10^{-5}$、$R=1/2$，指定初始有效温度 $X(0)=\Psi/3$，初始速度为零。势井中的时间势为负，而重子让平衡点移到正的有效温度。把这些数代入余弦解，得到下面的无量纲表达式。

声波走过半个周期、$kr_s=\pi$ 时，$X=(4/3)\times10^{-5}$；再过半个周期，$X=-(1/3)\times10^{-5}$。两个极值的绝对值相差四倍，显示平衡点偏移怎样改变两端振幅。真实温度峰还要合并速度、引力驱动与投影，下一节再把它们放回来。

重子让压缩和稀疏不再对称

没有重子负载时，$X$ 绕零振荡，压缩与稀疏两端对称。加上重子，振荡中心移开零点，势井中的压缩更深。在通常的绝热初始条件下，这会提高温度谱中压缩峰相对于稀疏峰的高度，常说的奇偶峰差异由此而来。

完整温度谱还含速度造成的 Doppler 项、势的时间演化和光子扩散。提高重子密度也会改变复合、声速与声视界。实际参数比较因此要用完整计算，不能只按余弦峰高缩放一张图。固定 CAMB 网格保留了这些同时发生的变化。

对应阅读：CAMB source and documentation · Hu & Sugiyama

用声视界估算峰间距

到末次散射时，一组模式满足 $k r_s\simeq n\pi$，刚好走到振荡极值。投到天空以后，它们大致对应 $\ell\simeq kD_M$。把两步合起来，得到相邻声学峰的近似间距。

用教学算例 $r_s=144\;\mathrm{Mpc}$、$D_M=14000\;\mathrm{Mpc}$，张角约为 $0.0103\;\mathrm{rad}$，声学多极尺度约为 $\ell_A=305$。这估计的是峰间距的主要尺度。第一温度峰的位置则要把引力驱动、相位移动与投影一起算进去。