离子运动边带谱

离子的运动冷到基态后，红边带为什么会消失？ 红边带跃迁要从离子的运动里拿走一个量子。离子已在运动基态，没有量子可拿，红边带就消失了；蓝边带是添一个量子，照样存在。反复测量、比较两个边带的强弱，就知道运动冷到了什么程度。

在受困离子的共振频率两侧驱动它，比较多次重复的状态读数；再用冷却脉冲，把运动能量一个量子一个量子地移走。

模型激发比例 $\text{—}$

此时刻采集结果 $\text{—}$

把离子留住，再让它出来

射频起始电压

V_{\mathrm{start}}/\mathrm V

5

射频终点电压

V_{\mathrm{end}}/\mathrm V

80

端帽电压

U/\mathrm V

0.1

辅助激发幅度

V_{\mathrm{AC}}/\mathrm V

0

辅助激发频率

f_{\mathrm{AC}}/\mathrm{kHz}

1000

离轴距离

y_0/\mathrm{\mu m}

0

拖动金色射频馈入旋钮，按住时参考离子已随电场变化。聚焦画布后也可用方向键调起始电压。

正在打开已保存的有限轨迹采集。

制备、比例与模型

储存段实时预览使用已知参考离子，质量为 $40\,\mathrm{u}$ ，带一个正元电荷。

射频幅度是两组交叉杆之间的零峰值，辅助幅度是两支开孔杆之间的零峰值；端帽直流电压相对地。

电极配色示意射频电压正负。四根有限双曲杆中，两支横向杆带贯穿开口，环形端帽限制轴向运动。离子在声明的位置原位生成；装置和离子标记已放大。这里不计算捕获效率、冷却、气体碰撞或离子间库仑力。

校准射频扫描采用精确受控的轴上初态、两次独立镜像试次和已知离子标准。两次试次依次执行；负侧接地终止面记为损失。理想计数器没有死时间，只记录正侧收集器正面的命中。

有限三维电势由每轴97点的八分体网格重建。中心系数保留原始Float32，外侧采用经过检验的Float24压缩。画面重放已保存、能分辨射频振动的轨迹；重新采集会积分同一电场，通常需数秒。

默认质量窗只适用于经过检验的受控制备和32–48校准域。它是条件区间，不给出点质量、组分数或电荷态。较宽的源和改变后的设置仍可保留命中，同时停止质量转换。

模型只有一个有效的谐振运动模式，和一个被驱动的内部跃迁。载波和一阶边带彼此分辨，采用精确的位移矩阵元。每次冷却后，离子理想复位，没有反冲。另有一个独立的经典射频 / 直流模式，积分离子的微运动和穿出孔径的损失，但不会重新标定谐振光谱。不考虑环境加热和荧光的光子统计。所有记录都是模拟的。

红、蓝边带的响应不一样。

离子激发0%

探测前运动基态0%

红线：红边带；蓝线：蓝边带；灰线：选中跃迁。点与 95% Wilson 误差棒来自记录。

拖动可检查任意探测时长。自动播放反复展示早期模型响应，不产生新测量。

数值读出与计数推断

制备后平均运动占据 · 模型

\text{—}

热态估计 · 来自配对计数

\text{—}

制备后的振子分布

还剩哪些运动能级？

\epsilon_{\rm tail}=0

已保存的计数与采集设置

同条件红蓝对照

采集一组对照后，下表才会填上。之后再改控件，表中仍保留采集时的设置。

探测	读出 / 总数	激发次数

模型与测量边界

读出成功时，能理想地分辨两个内部态；没读出的试次也保留在记录里。不模拟荧光光子一个个到达的过程。每次试验都独立制备。模型给出的数分布不是从这些二值计数重建的。

运动初态是一个有效谐振模式的热态。载波与一阶边带都按可分辨跃迁处理；阱角频率固定为参考时间倒数的二十倍。冷却用共振红边带脉冲加上无反冲的完美复位，所以冷却后的分布一般不再是热分布。

边带与腔协议采用任意参考时间单位；下方独立射频协议采用物理 SI 单位。几何为示意，原子与模式范围经过放大。

装置上的旋钮与滑块调节同一个模型载波驱动，脉冲面积还取决于探测时长。旋钮角度是操作界面，没有厂家的功率标定；改变视角不会改变阱或光谱标定。

主要来源：Leibfried et al. · 2003 · Vybornyi et al. · 2023

Paul 阱的运动与稳定区

运动有界，仍可能撞上孔径。

在给定的线性四极场里，对一颗经典测试离子做数值积分。稳定图检验的是理想方程；轨迹只说明这一组初始条件在这段观测时间里的表现。两者都不能证明离子被捕获。

电压、发射与观测窗口

射频幅值 / V

20

端帽直流 / V

5

射频频率 / MHz

5

发射射频相位 / 度

0

初始径向位置 / µm

15

另一径向位置 / µm

5

初始轴向位置 / µm

20

初始径向速度 / m/s

0

吸收半径 / µm

50

观测 / 射频周期

80

已记录时间游标

记录的 Mathieu 参数

a_r=0,\quad q_r=0

位置 · 模拟坐标

r=0\,\mu\mathrm m

径向单周期矩阵迹

\operatorname{tr}M=2

周期内径向残差均方根

\text{—}

径向运动与周期均值

蓝色：积分得到的径向坐标；橙色：完整周期均值。残差里还含有周期内慢运动的变化，所以不能据此唯一地分出本征微运动和额外微运动。

理想 Mathieu 稳定截面

蓝色：两个径向和轴向运动都有界；红色：不稳定；灰色：处在边界或退化。标记点用的是记录时的电压。网格是数值截面，不是电极的接受度图。

恢复进度

场、几何，以及结果能说明什么

\Phi=\Phi_{\rm rf}+\Phi_{\rm dc}

\begin{gathered}\Phi_{\rm rf}=\frac{V_{\rm rf}(x^2-y^2)}{2r_0^2}\\{}\cdot\cos(\Omega t+\phi)\end{gathered}

\begin{gathered}\Phi_{\rm dc}=\frac{\kappa U_{\rm dc}}{z_0^2}D\\D=z^2-\frac{x^2+y^2}{2}\end{gathered}

\begin{gathered}a_x=a_y=-\frac{4e\kappa U_{\rm dc}}{m z_0^2\Omega^2}\\a_z=-2a_x\end{gathered}

\begin{gathered}q_x=-q_y=\frac{2eV_{\rm rf}}{m r_0^2\Omega^2}\\q_z=0\end{gathered}

\begin{gathered}\ddot u_i=-\frac{\Omega^2}{4}A_i(t)u_i\\A_i(t)=a_i+2q_i\cos(\Omega t+\phi)\end{gathered}

离子带正电，质量取 40 原子质量单位。径向尺度 0.5 mm，轴向尺度 1 mm，端帽几何系数 0.2。坐标为右手系：轴向沿电极杆，两个径向一个朝上，一个横穿台面。几何是示意图，离子位移相对电极示意放大了十倍。轴向 200 µm 的限制和可调的径向圆柱，是近轴场内用来判定逃逸的吸收边界，不是电极表面。

速度 Verlet 算法每个射频周期走 192 步；Floquet 矩阵另用 RK4 独立积分。迹落在任一边界的数值容差内时，判为临界，不给结论；无场漂移也属于这种情况。逃逸时间夹在相邻两个积分步之间。在有限观测时间内能否存活，取决于初始能量、相位和孔径。不模拟冷却、气体碰撞、空间电荷、电极非谐性、杂散场和耗散装载。

这里的经典射频实验和谐振子量子边带实验是两个独立的实验。改变射频场不会重新标定边带频率，也不会产生光谱计数。这里的坐标都是模拟值，不是探测到的离子位置。

Berkeland 等 · 1998 · 式 1–6（NIST 汇编） · Wineland 等 · 线性阱与边带操控

从出阱到收集器脉冲

已保存的采集

收集器命中

1

质量兼容窗

36\text{–}40\,\mathrm{u}/e

单次采集窗

140\,\mathrm{\mu s}

独立留出

4/4

在经过检验的32–48校准域内，本次观测支持36–40质量窗。相接或重叠的区间不能确定组分数。

模拟收集器脉冲与已知离子到达窗

条件校准区间

m/Q

导入JSON或CSV

原始观测与校准

采集	绝对计数时刻	相对计数间隔	ADC原始码

导出文件保留全部参考、实际制备命令、电压读回、出生与脉冲时刻、场版本、谱系和已保存轨迹。复位改变当前装置设置，旧采集继续保留。

核心问题: 振子里一个量子都没有时，会有什么不同？
一句话直觉: 模型曲线和有限次测量，是两种不同的证据。

核心数学模型

分辨边带

\omega_L=\omega_0+s\nu+\Delta,\quad s\in\{-1,0,1\},\quad\nu t_*=20

红边带移走一个声子，蓝边带加上一个。失谐从所选跃迁算起。载波只改变内部态。

热态制备

p_n=\frac{\bar n_0^n}{(1+\bar n_0)^{n+1}}

运动的初始分布是热分布。冷却逐个更新每个声子数的概率，不会把结果改拟合成热态。

边带耦合

\Omega_{n,n+1}=\Omega_0e^{-\eta^2/2}\frac{\eta}{\sqrt{n+1}}L_n^1(\eta^2)

模型保留孤立一阶边带的完整位移矩阵元。位移小时，它趋于随声子数平方根变化的规律。

态读出

P_e(t)=\sum_n p_n\frac{\Omega_{n,n+s}^2}{\Omega_{n,n+s}^2+\Delta^2}\sin^2\!\left(\frac t2\sqrt{\Omega_{n,n+s}^2+\Delta^2}\right)

每次态读数都是一次新的 Bernoulli 试验。处在运动基态的离子，红边带激发不了。

热态的红蓝边带比

\frac{P_{\rm red}}{P_{\rm blue}}=\frac{\bar n}{1+\bar n},\quad\widehat{\bar n}=\frac{\hat P_{\rm red}}{\hat P_{\rm blue}-\hat P_{\rm red}}

只适用于单模热态，并且红蓝脉冲必须匹配。冷却之后，或两组逐点 Wilson 区间重叠时，页面不显示点估计。这条规则并不是占据数的置信区间。

常见难点

亮光不是轨迹

容易误解发光的物体画出了单个粒子的轨迹。

正确理解固定标记只表示粒子所在的位置，亮度表示概率或平均占据。只有记录下来的结果小格，才是真正的采样。

模型的近似

容易误解这是一台标定过的真实仪器。

正确理解边带实验采用谐振有效势、分辨跃迁，以及无反冲的理想冷却复位。另一个独立的经典射频实验求解受驱运动和有限孔径造成的损失，但它的场参数不会重新标定边带模型。两种模式都不模拟光子一个个到达的过程，也不模拟真实的装载捕获。

动手实验

01
制备
先试运动基态，再试热运动。
你会看到： 两种情况下，整条响应曲线都不一样。
02
探测
拖动时间游标，读出 200 次重新制备的结果。
你会看到： 预览播放本身不会产生数据。
03
对照
采集一组匹配的红、蓝边带读数。
你会看到： 导出原始 CSV，就能自己重算各态的频率。保存的对照会保留采集时的设置。

读仪器原理、来源与适用范围

核心问题: 从离子在阱中的摆动，到质量窗，中间经过了哪些物理过程？
一句话直觉: 场与质荷比决定轨迹，有限的电极开口和飞行决定命中；已知离子把这些脉冲变成经过检验的质量窗。

核心数学模型

同一电势决定力和做功

m\ddot{\mathbf r}=-Q\nabla\Phi,\qquad \frac{d}{dt}(K+Q\Phi)=Q\frac{\partial\Phi}{\partial t}

位置用米，时间用秒，电荷用库仑。射频和辅助电场随时间改变，会向离子输入或取出能量；电极碰撞在实际表面结束轨迹。

恒幅理想四极场的参考参数

\tau=\frac{\Omega t}{2},\qquad q_x=-\frac{2QV_{\mathrm{RF}}}{mr_0^2\Omega^2}

这里射频电压是两组相对电极之间的零峰值，理想近轴电势为该电压乘以横向平方差，再除以内切半径平方的两倍。横向另一个方向的参数符号相反。实际有限电势另含狭槽、端帽与外壳。

小参数下的慢振荡

\omega_{\mathrm{sec}}\simeq\frac{\Omega}{2}\sqrt{a_x+\frac{q_x^2}{2}}

这是小射频参数下的平均近似，恒定场的近轴曲率也进入这个表达式。快微运动仍叠在慢振荡上。升压扫描接近不稳定区时，要回到完整时变场积分，由到达实际收集器的轨迹给出探测时刻。

脉冲先形成到达间隔

t_{\mathrm{arr}}=(n_{\mathrm{pulse}}-n_{\mathrm{birth}})s_{\mathrm{clk}}

原始计数时刻与独立时钟标准给出间隔。已知离子的实际到达窗校准质量区间，另一组不同质量的离子留出检验；每次命中都受同一标准的影响，质量窗端点保留这部分共同不确定度。

常见难点

离开阱并不等于检测

容易误解穿过电极开口就能算一颗离子。

正确理解离子可能返回阱内或撞到负侧终止面。只有真实收集器正面的终止事件会进入计数。

区间能告诉我们什么

容易误解两个质量色块就确定有两种分子。

正确理解相接或重叠的区间没有给出组分数；相同质荷比也可能来自不同质量与电荷态。这里报告有限条件区间，并保留每次实际命中的计数。

动手实验

01
先看离子留在何处
比较整座阱与离子近景，暂停后改变射频起始电压。
你会看到： 慢摆动上叠着更快的颤动。金色馈入旋钮改变实际电场，按住时参考离子就会响应；下方仍保留上次采集的谱。
02
分开两种引出操作
比较共振引出、关闭辅助激发和默认射频质量扫描。
你会看到： 辅助场在合适频率下增加摆幅；默认测量则升高射频幅度，直至实际轨迹出阱。二者都必须继续飞到收集器才能记数。
03
沿开口追到正面
切换电极开口和收集器正面视角。
你会看到： 开口只让离子继续飞行。正侧收集器正面产生脉冲，负侧接地终止面记为损失。默认两次镜像试次相隔200微秒，前一次完整采集窗先结束。
04
用有限标准解释质量窗
查看默认质量窗，再打开受控混合曝光和宽相空间混合源。
你会看到： 受控曝光按实际命中给出兼容区间。靠近参考锚点时区间会扩大；宽源改变引出时刻的分布，可保留脉冲并停止质量解释。
05
保存后重新计算
导出JSON或CSV，改变设置后复位，再导入旧档案。
你会看到： 每次采集的电压读回、出生、扫描和脉冲时刻连同校准保留。复位只改变装置设置；新采集重新积分完整有限轨迹。

红、蓝边带的响应不一样。

还剩哪些运动能级？

同条件红蓝对照

运动有界，仍可能撞上孔径。

径向运动与周期均值

理想 Mathieu 稳定截面

从出阱到收集器脉冲

核心数学模型

分辨边带

热态制备

边带耦合

态读出

热态的红蓝边带比

常见难点

亮光不是轨迹

模型的近似

动手实验

制备

探测

对照

核心数学模型

同一电势决定力和做功

恒幅理想四极场的参考参数

小参数下的慢振荡

脉冲先形成到达间隔

常见难点

离开阱并不等于检测

区间能告诉我们什么

动手实验

先看离子留在何处

分开两种引出操作

沿开口追到正面

用有限标准解释质量窗

保存后重新计算

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