Q030 · 用边带读出离子运动

离子运动边带谱

离子的运动冷到基态后，红边带为什么会消失？ 红边带跃迁要从离子的运动里拿走一个量子。离子已在运动基态，没有量子可拿，红边带就消失了；蓝边带是添一个量子，照样存在。反复测量、比较两个边带的强弱，就知道运动冷到了什么程度。

在受困离子的共振频率两侧驱动它，比较多次重复的状态读数；再用冷却脉冲，把运动能量一个量子一个量子地移走。

模型激发比例 $\text{—}$

此时刻采集结果 $\text{—}$

模型只有一个有效的谐振运动模式，和一个被驱动的内部跃迁。载波和一阶边带彼此分辨，采用精确的位移矩阵元。每次冷却后，离子理想复位，没有反冲。另有一个独立的经典射频 / 直流模式，积分离子的微运动和穿出孔径的损失，但不会重新标定谐振光谱。不考虑环境加热和荧光的光子统计。所有记录都是模拟的。

02 / 观察交换过程

红、蓝边带的响应不一样。

离子激发0%

探测前运动基态0%

红线：红边带；蓝线：蓝边带；灰线：选中跃迁。点与 95% Wilson 误差棒来自记录。

拖动可检查任意探测时长。自动播放反复展示早期模型响应，不产生新测量。

数值读出与计数推断

制备后平均运动占据 · 模型

\text{—}

热态估计 · 来自配对计数

\text{—}

制备后的振子分布

03 / 看振子的占据

还剩哪些运动能级？

\epsilon_{\rm tail}=0

已保存的计数与采集设置

04 / 保留证据

同条件红蓝对照

采集一组对照后，下表才会填上。之后再改控件，表中仍保留采集时的设置。

探测	读出 / 总数	激发次数

模型与测量边界

读出成功时，能理想地分辨两个内部态；没读出的试次也保留在记录里。不模拟荧光光子一个个到达的过程。每次试验都独立制备。模型给出的数分布不是从这些二值计数重建的。

运动初态是一个有效谐振模式的热态。载波与一阶边带都按可分辨跃迁处理；阱角频率固定为参考时间倒数的二十倍。冷却用共振红边带脉冲加上无反冲的完美复位，所以冷却后的分布一般不再是热分布。

边带与腔协议采用任意参考时间单位；下方独立射频协议采用物理 SI 单位。几何为示意，原子与模式范围经过放大。

装置上的旋钮与滑块调节同一个模型载波驱动，脉冲面积还取决于探测时长。旋钮角度是操作界面，没有厂家的功率标定；改变视角不会改变阱或光谱标定。

主要来源：Leibfried et al. · 2003 · Vybornyi et al. · 2023

Paul 阱的运动与稳定区

05 / 建立离子阱

运动有界，仍可能撞上孔径。

在给定的线性四极场里，对一颗经典测试离子做数值积分。稳定图检验的是理想方程；轨迹只说明这一组初始条件在这段观测时间里的表现。两者都不能证明离子被捕获。

电压、发射与观测窗口

射频幅值 / V

20

端帽直流 / V

5

射频频率 / MHz

5

发射射频相位 / 度

0

初始径向位置 / µm

15

另一径向位置 / µm

5

初始轴向位置 / µm

20

初始径向速度 / m/s

0

吸收半径 / µm

50

观测 / 射频周期

80

已记录时间游标

记录的 Mathieu 参数

a_r=0,\quad q_r=0

位置 · 模拟坐标

r=0\,\mu\mathrm m

径向单周期矩阵迹

\operatorname{tr}M=2

周期内径向残差均方根

\text{—}

径向运动与周期均值

蓝色：积分得到的径向坐标；橙色：完整周期均值。残差里还含有周期内慢运动的变化，所以不能据此唯一地分出本征微运动和额外微运动。

理想 Mathieu 稳定截面

蓝色：两个径向和轴向运动都有界；红色：不稳定；灰色：处在边界或退化。标记点用的是记录时的电压。网格是数值截面，不是电极的接受度图。

恢复进度

场、几何，以及结果能说明什么

\Phi=\Phi_{\rm rf}+\Phi_{\rm dc}

\begin{gathered}\Phi_{\rm rf}=\frac{V_{\rm rf}(x^2-y^2)}{2r_0^2}\\{}\cdot\cos(\Omega t+\phi)\end{gathered}

\begin{gathered}\Phi_{\rm dc}=\frac{\kappa U_{\rm dc}}{z_0^2}D\\D=z^2-\frac{x^2+y^2}{2}\end{gathered}

\begin{gathered}a_x=a_y=-\frac{4e\kappa U_{\rm dc}}{m z_0^2\Omega^2}\\a_z=-2a_x\end{gathered}

\begin{gathered}q_x=-q_y=\frac{2eV_{\rm rf}}{m r_0^2\Omega^2}\\q_z=0\end{gathered}

\begin{gathered}\ddot u_i=-\frac{\Omega^2}{4}A_i(t)u_i\\A_i(t)=a_i+2q_i\cos(\Omega t+\phi)\end{gathered}

离子带正电，质量取 40 原子质量单位。径向尺度 0.5 mm，轴向尺度 1 mm，端帽几何系数 0.2。坐标为右手系：轴向沿电极杆，两个径向一个朝上，一个横穿台面。几何是示意图，离子位移相对电极示意放大了十倍。轴向 200 µm 的限制和可调的径向圆柱，是近轴场内用来判定逃逸的吸收边界，不是电极表面。

速度 Verlet 算法每个射频周期走 192 步；Floquet 矩阵另用 RK4 独立积分。迹落在任一边界的数值容差内时，判为临界，不给结论；无场漂移也属于这种情况。逃逸时间夹在相邻两个积分步之间。在有限观测时间内能否存活，取决于初始能量、相位和孔径。不模拟冷却、气体碰撞、空间电荷、电极非谐性、杂散场和耗散装载。

这里的经典射频实验和谐振子量子边带实验是两个独立的实验。改变射频场不会重新标定边带频率，也不会产生光谱计数。这里的坐标都是模拟值，不是探测到的离子位置。

Berkeland 等 · 1998 · 式 1–6（NIST 汇编） · Wineland 等 · 线性阱与边带操控

先抓重点

核心问题: 振子里一个量子都没有时，会有什么不同？
一句话直觉: 模型曲线和有限次测量，是两种不同的证据。

核心数学模型

分辨边带

\omega_L=\omega_0+s\nu+\Delta,\quad s\in\{-1,0,1\},\quad\nu t_*=20

红边带移走一个声子，蓝边带加上一个。失谐从所选跃迁算起。载波只改变内部态。

热态制备

p_n=\frac{\bar n_0^n}{(1+\bar n_0)^{n+1}}

运动的初始分布是热分布。冷却逐个更新每个声子数的概率，不会把结果改拟合成热态。

边带耦合

\Omega_{n,n+1}=\Omega_0e^{-\eta^2/2}\frac{\eta}{\sqrt{n+1}}L_n^1(\eta^2)

模型保留孤立一阶边带的完整位移矩阵元。位移小时，它趋于随声子数平方根变化的规律。

态读出

P_e(t)=\sum_n p_n\frac{\Omega_{n,n+s}^2}{\Omega_{n,n+s}^2+\Delta^2}\sin^2\!\left(\frac t2\sqrt{\Omega_{n,n+s}^2+\Delta^2}\right)

每次态读数都是一次新的 Bernoulli 试验。处在运动基态的离子，红边带激发不了。

热态的红蓝边带比

\frac{P_{\rm red}}{P_{\rm blue}}=\frac{\bar n}{1+\bar n},\quad\widehat{\bar n}=\frac{\hat P_{\rm red}}{\hat P_{\rm blue}-\hat P_{\rm red}}

只适用于单模热态，并且红蓝脉冲必须匹配。冷却之后，或两组逐点 Wilson 区间重叠时，页面不显示点估计。这条规则并不是占据数的置信区间。

常见难点

亮光不是轨迹

容易误解发光的物体画出了单个粒子的轨迹。

正确理解固定标记只表示粒子所在的位置，亮度表示概率或平均占据。只有记录下来的结果小格，才是真正的采样。

模型的近似

容易误解这是一台标定过的真实仪器。

正确理解边带实验采用谐振有效势、分辨跃迁，以及无反冲的理想冷却复位。另一个独立的经典射频实验求解受驱运动和有限孔径造成的损失，但它的场参数不会重新标定边带模型。两种模式都不模拟光子一个个到达的过程，也不模拟真实的装载捕获。

动手实验

01
制备
先试运动基态，再试热运动。
你会看到： 两种情况下，整条响应曲线都不一样。
02
探测
拖动时间游标，读出 200 次重新制备的结果。
你会看到： 预览播放本身不会产生数据。
03
对照
采集一组匹配的红、蓝边带读数。
你会看到： 导出原始 CSV，就能自己重算各态的频率。保存的对照会保留采集时的设置。