FR19-B · 等待一个分子打开

随机展开力谱

同一种分子，为什么会在不同的力下展开？ 展开要越过分子的能垒，等待时间有随机性。拉力越大，展开越快，但每个分子等待的时间仍不相同。拉得越快，分子在低力下等待的时间越短，整批展开力通常也就越高。

用理想力钳拉开一个折叠结构域。先看一次伸长突跳，再比较整批分子的展开分布；降低探测带宽，看突跳怎样延迟出现在记录里。

拉力 $30.8\,\mathrm{pN}$

分子伸长 $267\,\mathrm{nm}$

仍折叠的比例 $0.2$

由探测记录估计的零力速率 $0.1\,\mathrm{s}^{-1}$

拉一下，再等一等

施力方式

加载率

r\;(\mathrm{pN/s})

12

恒定拉力

F_{\rm c}\;(\mathrm{pN})

18

探测带宽

f_{\rm d}\;(\mathrm{Hz})

8

回放时刻

t\;(\mathrm{s})

2.4

左右拖动金色光阱，改变施力条件。每次回放都来自一条已保存的分子轨迹。

动力学与仪器假设

向右拉取正。理想反馈移动光阱，维持给定拉力；结构域打开的瞬间也一样。珠子按准静态力平衡定位，探测器滤波只改变位置记录。

$k(F)=k_0e^{Fx^\ddagger/(k_{\rm B}T)}$

$k_0=0.1\,\mathrm{s}^{-1},\quad x^\ddagger=0.45\,\mathrm{nm},\quad k_{\rm B}T=4.114\,\mathrm{pN\,nm}$

$\kappa_{\rm trap}=0.3\,\mathrm{pN/nm},\quad \kappa_{\rm handle}=0.5\,\mathrm{pN/nm},\quad \Delta x=25\,\mathrm{nm}$

一次单向首次跃迁增加上式给出的固定伸长量。线性连接链、固定过渡距离和理想反馈用于教学。珠子与结构域放大绘制；不预测特定蛋白速率，不包含重新折叠、珠子黏滞动力学或反馈带宽。

探测器先叠加独立高斯位置噪声，再经过单极点低通滤波。每条轨迹每二十毫秒采一次，持续六秒。到终点仍未跨过一半伸长突跳的轨迹，按右删失处理。

模型假设

模型用单向 Bell 随机跃迁描述首次展开，展开后释放固定伸长量，连接链按线性弹簧处理。力由理想瞬时反馈施加，不含珠子拖曳、反馈延迟、重新折叠或蛋白原子结构。速率和几何参数用于教学，记录全部来自模拟。

128 个合成分子 · 固定种子

一次突跳，一整群分子

当前分子的伸长

原始探测记录滤波探测记录模型真值

还有多少分子没展开？

探测到的群体理想 Bell 存活曲线

默认记录包含一次展开。金色曲线跟随探测器的响应。

速率估计、删失与导出

\widehat k_0=\frac{N_{\rm events}}{\sum_i\int_0^{t_i}e^{F(s)x^\ddagger/(k_{\rm B}T)}\,ds}

给定过渡距离后，先从每条已保存的滤波轨迹中减去滤波后的折叠基线，再找首次跨过半个突跳的时刻。似然使用全部轨迹；删失轨迹贡献完整六秒的等待时间。探测器越慢，识别时刻越晚，估计也会偏移。导出包含种子、单位、模型版本、施力协议、精确事件时刻、所有原始与滤波位置、识别时刻及两种速率估计。

显示的标准误差采用 Bell 模型内的事件计数近似，不包含过渡距离不确定性、力标定误差、基线设错或探测器偏差。

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先抓重点

核心问题: 同一种分子，为什么会在不同的力下展开？
一句话直觉: 展开力同时记录了分子等了多久，以及等待期间拉力怎样增加。

核心数学模型

拉力改变展开速率

k(F)=k_0\exp\!\left(\frac{Fx^\ddagger}{k_{\rm B}T}\right)

零力速率的单位是每秒，过渡距离沿拉伸方向取值，单位为纳米。在这里的单路径 Bell 近似中，正拉力降低能垒。

存活概率取决于整个施力过程

S(t)=\exp\!\left[-\int_0^t k(F(s))\,ds\right],\qquad F(t)=F_0+rt

存活表示结构域仍保持折叠。匀速增力时，分子随时可能展开；把沿途速率积起来，就得到展开力的分布。

理想力平衡确定珠子位置

x_{\rm mol}=x_{\rm folded}+\frac{F}{\kappa_{\rm handle}}+u\Delta x,\qquad x_{\rm trap}-x_{\rm bead}=\frac{F}{\kappa_{\rm trap}}

分子伸长从固定端量到珠子的连接点。展开指示量在打开前取零、打开后取一。分子变长时，理想反馈跟着移动光阱，维持给定拉力。

常见难点

峰值不是固定的断裂门槛

容易误解展开力分布的峰值，就是每个分子都必须达到的展开门槛。

正确理解峰值表示这一施力方式下最常见的结果。改变加载率，就改变了分子等待越过能垒的时间，峰值也会移动。

没等到展开的轨迹也要保留

容易误解没有展开的分子，不提供有用信息。

正确理解它至少在完整的观察期间都没展开。删掉这些长等待，通常会把展开速率估得过快。

动手实验

01
先猜慢拉会怎样
先比较“慢慢拉”和“快速拉”，看群体曲线在多大拉力下下降。再连续选择几次“下一个分子”。
你会看到： 慢拉让分子在较小的力下就有更多时间展开。各个分子仍在不同的位置突跳，因为等待时间本来就是随机的。
02
把等待和增力分开
选择“恒力等待”。先预测仍折叠比例的曲线形状，再看完整回放。
你会看到： 拉力不变，各个分子还是会在不同时间打开。理想群体的存活比例按指数规律下降。
03
让探测器慢下来
选择“迟钝的探测器”，保持施力方式不变，再提高“探测带宽”。比较两条记录和估计速率。
你会看到： 模型中的结构域仍在同一时刻打开；带宽低时，滤波位置更晚跨过半个突跳。把这段延迟也算成分子的等待，估计速率就会偏低。