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Sandbox Physics
从一颗珠子读懂单分子力学

L4 · 第 8 章

换一种负载，马达模型还能预测吗

Sandbox Physics ·

两个模型可以在一种负载下给出相同平均速度，换个负载后却走得不同。研究因此不能停在一条拟合曲线：先固定参数，再预测没参与拟合的协议，才有机会看出隐藏的动力学差别。这一章用可复算的双态网络示范这种检验。

先确定要复算的理论关系

选定 Seifert 2012 年综述的 arXiv 第一版。第 9.4.5 节式 (244) 规定马达转变的局部详细平衡；第 10.5 节式 (273) 把单循环的输入、输出功率写成前向循环流与亲和力的函数。接下来把这两条已发表的理论关系用于自选双态参数。

论文图 3 展示一般多循环网络。页面另画最小的双态周期网络，所有轨迹都由教学参数生成。复算只覆盖选定关系；真实 DNA 和 kinesin 的实验可分别阅读 Wang 与 Svoboda 的原论文。

对应阅读：U. Seifert · Wang et al. · K. Svoboda & S. M. Block

独立解一次状态概率

把上一章的轨迹采样器暂时放在一边，直接求状态概率。定义从 AA 流出的总速率 a=u0+w1a=u_0+w_1，从 BB 流出的总速率 b=w0+u1b=w_0+u_1。概率流方程是一条线性微分方程，既有稳态解，也有负载切换后的解析弛豫。

离线脚本独立求出状态概率，再算稳态速度，与浏览器模型比较。无驱动时两股流相等，停滞时净位移为零，负载超过停滞值后则会倒退。这些比较能发现采样或数值程序中的错误；真实蛋白是否符合双态假设，还需要实验。

p˙A=b−(a+b)pA,pAss=ba+b,pA(t)=pAss+[pA(0)−pAss]e−(a+b)t\dot p_A=b-(a+b)p_A,\quad p_A^{\rm ss}=\frac b{a+b},\quad p_A(t)=p_A^{\rm ss}+[p_A(0)-p_A^{\rm ss}]e^{-(a+b)t}
这一解用于负载固定的每个区段。负载突变时概率连续，速率立刻切换；再把机械正、反跃迁流相减得到瞬时平均速度。

对应阅读：U. Seifert

把功率关系写成可检查的量

从第六章的净流分子分出前向循环贡献 j+j^+ 和反向贡献 j−j^-，共用分母 SS。两者之比由循环亲和力决定，净流是两者之差。净流分别乘机械功与化学自由能，便得到式 (273) 在本网络中的功率关系。

冻结基准保存参数、单位、计算方法和输出。重新运行脚本，可以比较净流方向、零点和输入减输出的功率；各项都来自同一组速率。

j+=u0u1S,j−=w0w1S,j−j+=e−Aj^+=\frac{u_0u_1}{S},\qquad j^-=\frac{w_0w_1}{S},\qquad \frac{j^-}{j^+}=e^{-\mathcal A}
此处正反循环贡献按双态网络定义，分母是四个跃迁率之和。
J=j+(1−e−A),Pout=j+(1−e−A)FdJ=j^+(1-e^{-\mathcal A}),\qquad P_{\rm out}=j^+(1-e^{-\mathcal A})Fd
单条有限轨迹的化学与机械事件数可能相差一个边界状态；稳态平均时，两条边共享同一净循环流。

对应阅读：U. Seifert

一样的平均速度可以藏着不同的等待

只在一个恒定负载下测平均速度，无法唯一确定四个速率。做一个具体对照：模型 A 采用第六章的速率；模型 B 把两个方向的化学速率都乘 0.150.15，把两个方向的机械速率都乘 1.44769241.4476924。每条边的正反比保持不变。在 100  μM100\;\mathrm{\mu M} ATP、1.50  pN1.50\;\mathrm{pN} 负载下，两者的长期速度同为 104.628  nm s−1104.628\;\mathrm{nm\,s^{-1}}。

现在固定参数，把负载提高到 3.00  pN3.00\;\mathrm{pN}。两者在切换前各自达到稳态；切换时保留原占据率。模型 A 立刻继续前进，模型 B 的初始平均速度却向后。两者最后都向前，但弛豫快慢也不同。表中的平均位移直接由主方程积分得到。

这给出了区分所选候选模型的协议。不过，前 10  ms10\;\mathrm{ms} 的平均位移只有零点几纳米，远小于单颗珠子的热涨落。实际比较需要把预测先送过相同的珠子和探测器响应，再对多次独立记录取平均，并检验噪声与带宽是否足以分辨这点差别。

同一恒力速度校准后，冻结参数再预测新负载；全部数值来自教学模型。
观测量模型 A模型 B
切换前速度 (nm s−1)(\mathrm{nm\,s^{-1}})104.628104.628104.628104.628
切换瞬间速度 (nm s−1)(\mathrm{nm\,s^{-1}})19.883419.8834−11.8260-11.8260
切换后弛豫时间 (ms)(\mathrm{ms})3.1513.15115.10515.105
新负载长期速度 (nm s−1)(\mathrm{nm\,s^{-1}})23.711923.711924.681224.6812
前十毫秒平均位移 (nm)(\mathrm{nm})0.225560.22556−0.02019-0.02019

对应阅读：U. Seifert

一次可以复做的预测检查

先在恒定负载下取得记录，用独立重复估计速度散布。接着固定参数和误差模型，不再拿第二组记录调参。选择足够长的负载突变协议，分别保存真实事件、珠子响应和探测信号。

预测应当先穿过相同的仪器响应，再与探测记录比较。若差异只在切换后的短暂区间，可能是响应时间或初始占据估错；若长时间速度也偏离，则要检查力依赖速率、化学条件或额外循环。更复杂的隐藏状态推断，还需要多种负载、浓度、噪声模型和独立实验数据。

对应阅读：Lang et al. · U. Seifert

动手检验预测

把负载突变留作预测

  1. 在恒定负载下记下平均速度与记录间散布，写下提高负载后的方向预测。
  2. 选“突然加重负载”，再展开加载方式，查看跳变后的指定负载。这个浏览器预设演示模型 A；上表的两模型对照由离线基准脚本计算。
  3. 导出记录，保留种子和版本；在跳变前后分别复算速度，再改变带宽检验结论的稳定性。

把同样思路用于展开

  1. 在线性加载下确定参数，先写出恒力等待的存活曲线。
  2. 改选“恒力等待”，保持分子参数，比较事件与删失比例，再考虑是否需要更复杂势垒。

练习与解释性答案

  1. 两组模型都满足详细平衡关系且拟合同一个速度，为什么还会预测不同的负载响应？

    展开解释

    详细平衡限制正反速率比，单个速度只限制一个组合。各状态停留多久、占据多少，以及这些量怎样随力改变，仍可不同。负载突变同时检验稳态变化和弛豫。

  2. 新协议的真值轨迹符合预测，探测轨迹却不符合，先检查哪里？

    展开解释

    先检查珠子与探测器响应、采样、拟合窗口和噪声模型。模型真值是合成计算中的已知参考；真实实验拿不到这层信息，需要独立标定和不同协议来区分仪器与分子原因。

来源与计算范围

  1. Wang et al., Stretching DNA with Optical Tweezers, Biophysical Journal 72, 1335–1346 (1997)

    图 1 给出表面、DNA 与珠子的几何；弹性分析区分熵弹性和链本身的拉伸。这里采用共线、不可伸长的教学模型，自选参数并生成合成记录，没有数字化论文实验点。

  2. Lang et al., An Automated Two-Dimensional Optical Force Clamp for Single Molecule Studies, Biophysical Journal 83, 491–501 (2002)

    装置与反馈部分说明外加负载、珠子响应和探测器响应为什么需要分开。展开与马达实验采用理想给定力控制，没有模拟整套反馈仪器。

  3. K. Svoboda & S. M. Block, Force and Velocity Measured for Single Kinesin Molecules, Cell 77(5), 773–784 (1994)

    图 1 与图 4—5 描述珠子装置和连接链柔顺性。论文采用固定光阱；这里用理想力钳和自选双态速率解释化学驱动与负载响应。

  4. U. Seifert, Stochastic Thermodynamics, Fluctuation Theorems, and Molecular Machines, arXiv:1205.4176v1 (2012)

    第 9.4.5 节式 (240)—(244) 给出局部详细平衡，第 10.5 节式 (273) 给出单循环机器的输入与输出功率。限定复算将这些关系用于自选网络。图 3 展示一般多循环网络；页面的双态图是另画的示意。

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