珠子一直在晃，怎样用它测力

先把受力方向画清楚

沿水平测量轴向右为正。光阱中心位于 $X$ ，珠心位于 $x$ ，两者都用纳米计。离中心不远时，光阱对珠子的力近似为 $F_{\rm trap}=k_{\rm trap}(X-x)$ ，刚度的单位是皮牛每纳米。珠子在中心左侧，光阱便向右拉。

分子连接在珠子左侧时，静止珠子的左右两股力相等。没有分子时，平均位置回到光阱中心。力标定先在这个简单状态下做，才容易认清后来多出来的那股分子力。

1\;\mathrm{pN}=10^{-12}\;\mathrm{N},\qquad 1\;\mathrm{nm}=10^{-9}\;\mathrm{m}

生物分子的典型机械信号很小。长度、刚度与能量使用同一套单位，后面的数值才能直接相乘。

水分子不停撞击珠子，珠子也因水的阻力迅速失去速度。这里关注毫秒尺度的位置，忽略更短时间的惯性：给定一股力，珠子的平均速度由力除以拖曳系数决定。热碰撞让位置围绕平均值随机起伏。

光阱中心附近的势能是一只碗，珠子越偏，势能越高。热平衡时，一个二次型位置自由度平均储存半份热能。写成方差关系，就能从位置散布反推刚度。这里 $k_B$ 是 Boltzmann 常数， $T$ 是绝对温度。

U=\frac12 k_{\rm trap}(x-X)^2,\qquad \left\langle(x-X)^2\right\rangle=\frac{k_BT}{k_{\rm trap}}

平均值需要足够长、已达平衡的记录。探测器应当能保留相关的热涨落；过慢的探测器会低估方差。

在约室温条件下取 $k_BT=4.11\;\mathrm{pN\,nm}$ 。一颗自由珠子的真实位置标准差是 $10.0\;\mathrm{nm}$ ，方差就是 $100\;\mathrm{nm^2}$ 。用热能除以方差，得到刚度 $0.0411\;\mathrm{pN\,nm^{-1}}$ 。

随后接上分子，平均珠位向左偏离中心 $40.0\;\mathrm{nm}$ 。若光阱仍在线性范围内，平衡张力就是 $1.64\;\mathrm{pN}$ 。先问刚度在接分子前后是否相同，再做乘法；激光功率、珠子高度或探测灵敏度改变，都需要重新检查。

对应阅读：Wang et al.

连续两个采样点往往来自同一次还没结束的晃动。珠子偏离中心后，平均偏离按指数衰减，特征时间为拖曳系数除以刚度。把采样率加倍，并不会自动获得两倍的独立信息。

粗略估计不确定度时，可以把长记录切成比弛豫时间长得多的区段，比较各段估计。换一颗珠子或一次标定带来的整体误差，则不会因同一条记录更长而消失。下一章连接 DNA 后，珠子会感到第二只弹簧，涨落也要重新解释。

\tau=\frac{\gamma}{k_{\rm trap}},\qquad C(t)=\left\langle\delta x^2\right\rangle e^{-|t|/\tau}

拖曳系数用皮牛毫秒每纳米计，弛豫时间便是毫秒。这里是无限均匀流体中的线性、过阻尼近似；邻近表面会改变拖曳。

练习与解释性答案

探测器把位置标准差从真实的十纳米抹成八纳米。直接使用均分关系，会把光阱刚度估高还是估低？

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会估高。方差从一百变成六十四平方纳米；同一热能除以更小的数，刚度估计成为真实值的一点五六倍。延长记录只能减少随机波动，补不回被滤掉的频率。

把连接分子的珠子误当成自由珠子标定，会发生什么？

展开解释

分子也提供恢复力，珠子晃得更小。用自由珠子公式会把分子的局部刚度算进光阱刚度；第三章会推导这两种刚度怎样同时进入不同测量。