室温下，光阱里的珠子会晃多远

一颗停不下来的珠子

光阱对珠子的作用很像一根看不见的弹簧：珠子偏离光斑中心 $\lambda$ 多远，就被拉回多大的力。再加一个恒定的负载力 $f$ ，比如一根分子链在另一头轻轻拽着，势能就是下面这个式子。

长度用纳米，力用皮牛。两者相乘得到的能量单位 $\mathrm{pN\,nm}$ 等于 $10^{-21}\,\mathrm{J}$ ，正好适合这个尺度。300 K 时热能 $k_BT=4.14\,\mathrm{pN\,nm}$ ，水分子每次撞击给珠子的能量就在这个量级。

V(x,\lambda)=\frac{k}{2}(x-\lambda)^2+fx

这里

x

是珠子中心的位置，

k

是光阱刚度。负载项让珠子朝负方向偏，但不改变碗的形状。

来源：U. Seifert

珠子大部分时间待在哪里

光阱不动、等足够久之后，珠子出现在位置 $x$ 附近的概率正比于 $e^{-V/k_BT}$ 。这就是玻尔兹曼分布：势能每高出一个 $k_BT$ ，出现的机会就少到原来的 $1/e$ 。

把势能配方，指数里只剩一个完全平方，分布就是高斯分布。它的中心比光斑偏了 $f/k$ ，宽度只由刚度和温度决定。方差是偏离平均位置的平方的平均值，开方后就是珠子典型的晃动幅度。

把方差乘上 $k/2$ ，弹簧里平均存着 $k_BT/2$ 的能量。这就是能量均分：每个平方形式的自由度，平均分到半个 $k_BT$ 。

p_{\rm eq}(x)\propto e^{-V(x,\lambda)/k_BT},\qquad \langle x\rangle=\lambda-\frac{f}{k},\qquad \langle(x-\langle x\rangle)^2\rangle=\frac{k_BT}{k}

负载只移动分布的中心；配方后剩下的常数项与位置无关，被归一化吸收。

谐振光阱里的珠子。碗形曲线是势能，阴影曲线是位置的玻尔兹曼分布，宽度为

\sqrt{k_BT/k}

。原创示意图，不是实测数据。

来源：U. Seifert

它多快忘掉自己从哪里来

珠子在水里极轻又极慢，惯性可以忽略：任何时刻，水的粘滞阻力都和光阱的力、随机撞击力三者平衡。这就是过阻尼 Langevin 方程。阻力系数 $\gamma$ 由 Stokes 公式给出，与珠子半径和水的粘度成正比。

取平均后随机力消失，平均位置按 $e^{-t/\tau_r}$ 回到平衡，弛豫时间 $\tau_r=\gamma/k$ 。温度不进这个比值：它决定晃多大，不决定回来多快。随机力的强度 $2\gamma k_BT$ 不是随便选的；只有这样，长时间后的分布才正好是上一节的玻尔兹曼分布。

\gamma\dot x=-\frac{\partial V}{\partial x}+\xi(t),\qquad \langle\xi(t)\xi(s)\rangle=2\gamma k_BT\,\delta(t-s),\qquad \gamma=6\pi\eta a

这里

\eta

是水的粘度，

a

是珠子半径。式中的随机力在不同时刻互不相关。

来源：U. Seifert · O. Mazonka and C. Jarzynski

完整例题：12 pN/μm 光阱里的一微米珠子

取 $k=12\,\mathrm{pN/\mu m}=0.012\,\mathrm{pN/nm}$ ，300 K。方差 $k_BT/k=4.14/0.012\approx345\,\mathrm{nm^2}$ ，晃动幅度约 $18.6\,\mathrm{nm}$ 。这比珠子本身小五十多倍，用高速相机和光电探测器都能测到。

水在室温下的粘度取 $1\,\mathrm{mPa\,s}$ ，半径 $0.5\,\mu\mathrm{m}$ ，得 $\gamma=9.42\times10^{-3}\,\mathrm{pN\,ms/nm}$ ，弛豫时间 $\tau_r\approx0.785\,\mathrm{ms}$ 。不到一毫秒，珠子就忘掉了自己刚才在哪。

加上 $f=0.1\,\mathrm{pN}$ 的负载，中心移动 $f/k\approx8.3\,\mathrm{nm}$ ，宽度不变。把光阱调硬到 $40\,\mathrm{pN/\mu m}$ ，幅度降到 $10.2\,\mathrm{nm}$ ，弛豫时间缩到 $0.236\,\mathrm{ms}$ ：硬的光阱让珠子晃得更小，也回得更快。

到实验里试一试

先看静止光阱里的一群珠子

选择“平地：全是耗散”预设，它没有负载。在拉动开始前观察碗底的珠子云。预测：把刚度从 4 调到 40 pN/μm，云的宽度会变成原来的几分之一？
改变刚度后重新播放，比较珠子云的宽度。刚度乘十倍，宽度应缩小到约 $1/\sqrt{10}\approx0.32$ 倍。
再加上负载，看珠子云的中心往哪边移，宽度是否改变，用本章的配方结论解释。

反过来，用晃动测刚度

在光镊标定实验里，先猜测刚度更大时位置记录的起伏会怎样变化。
只改变刚度，读出位置方差，用 $k=k_BT/\langle\delta x^2\rangle$ 算回刚度，与设定值比较。

练习与解答

刚度为 $4\,\mathrm{pN/\mu m}$ 时，300 K 下珠子晃动幅度是多少？弛豫时间呢？
展开解答
方差 $4.14/0.004\approx1036\,\mathrm{nm^2}$ ，幅度约 $32\,\mathrm{nm}$ 。弛豫时间 $\gamma/k\approx2.36\,\mathrm{ms}$ 。软的光阱让珠子晃得更大，也回得更慢。
假设水的粘度不变，只把温度升高一倍，晃动幅度和弛豫时间各怎样变？
展开解答
方差和 $k_BT$ 成正比，加倍；幅度变为原来的 $\sqrt2$ 倍。弛豫时间 $\gamma/k$ 不含温度，不变。真实的水升温后粘度会下降，弛豫会因此变快，那是另一个效应。
珠子出现在离平均位置三个幅度远的地方，比出现在平均位置附近少多少？
展开解答
记 $\sigma^2=k_BT/k$ ，多出的势能是 $\tfrac{k}{2}(3\sigma)^2=\tfrac{9}{2}k_BT$ ，概率密度之比为 $e^{-4.5}\approx0.011$ 。录下几千帧，就会遇到许多次这样的偏离。

来源与复算范围

U. Seifert, Stochastic thermodynamics, fluctuation theorems and molecular machines, arXiv:1205.4176v1; Reports on Progress in Physics 75, 126001 (2012)
2012 年 5 月 18 日 v1。第 2 节：过阻尼 Langevin 动力学，式 (14) 定义交给环境的热，式 (15)—(19) 给出单条轨迹的第一定律。第 4 节：式 (58) 与 (61)，即 Jarzynski 等式与 Crooks 关系。第 6.2 节：主方程的熵产生，式 (120)—(129)。第 7.2 节：用相对熵给耗散定下限，式 (146)—(150)。第 7.3 节：测量与反馈，式 (151)—(163)。
O. Mazonka and C. Jarzynski, Exactly solvable model illustrating far-from-equilibrium predictions, arXiv:cond-mat/9912121v1 (1999)
1999 年 12 月 7 日 v1。谐振弹簧以恒定速度拖着粘滞液体里的珠子。式 (4)—(7) 给出模型和做功速率，式 (26) 定义有限时间因子，式 (43)—(53) 加入恒定外力，式 (49) 给出自由能变化，式 (51)—(53) 给出功的高斯均值和方差。课程复算了这些结果；文中的数值例子是课程自己的。