只看到一部分状态时，还能看出多少耗散

观察者能证明的耗散

把观察者记下的一段轨迹记为 $\gamma_t$，把它倒放得到 $\tilde\gamma_t$。处在平衡态的过程，倒放的录像和正放的一样常见；被驱动时，正放的更常见。两者概率分布之间的相对熵每单位时间增长多少，就是这份记录里看得到的耗散。

Martínez 等人 2019 年的式 (1) 指出，这个量不超过真实的熵产生率；记录包含所有偏离平衡的变量时，两者相等。Seifert 综述第 7.2 节用同一个相对熵衡量耗散，并指出粗粒化只会让它变小：把记录看得越粗，正反两种分布越难区分。

来源：I. A. Martínez · U. Seifert

定时快照

相机每隔 $\Delta t$ 拍一帧，每帧都看清酶的状态，但看不到两帧之间发生了什么。相邻两帧依次是 $i$ 和 $j$ 的概率为 $p_iP_{ij}$，转移矩阵 $P=e^{W\Delta t}$，$W$ 是上一章主方程的速率矩阵。快照序列仍是马尔可夫链，所以只需比较相邻两帧的正反概率，见下面第一式。

间隔很短时，$p_iP_{ij}\approx p_iw_{ij}\Delta t$，第一式回到上一章的式 (128)，快照看到了全部耗散。间隔变长后，两帧之间可能跳了好几次。在三态环上，往前跳两步和往后跳一步拍下来一模一样，这种混淆抵消了一部分正向流量，快照能证明的也就少了。

把间隔加倍，相当于把原来的录像隔一帧删一帧。删掉数据不会让正反分布更容易区分，所以按单位时间计的下限只会降低或不变。间隔远长于酶的弛豫时间时，后一帧几乎不记得前一帧，下限趋于零。

来源：U. Seifert

只看结合与否

换一个观察者：它分不清 ET 和 ED，只知道酶是空着（E）还是结合着东西（记为 B）。这个信号一直在跳，每秒在 E 与 B 之间切换几十次，可正放和倒放的录像在统计上完全一样。

先看快照对。只有两类状态时，稳态下第一帧和第二帧是 E 的概率相同，由此立刻得到下式：从 E 到 B 和从 B 到 E，两种快照对一样多，下限为零。

整条记录也是如此。E 只有一个微观状态，酶每次进入 E，过去的信息都被抹掉，这样的时刻叫更新点。离开 E 时往前进入 ET 还是往后进入 ED，与在 E 停了多久无关；在 B 里停多久，只取决于从哪一侧进入。于是记录是一串交替的停留时间，各段彼此独立。倒过来看，它仍是同样分布、同样独立的交替序列，所以相对熵恰好为零，尽管酶每秒在耗散 140 $k_BT$。

三态环上，任何把状态分成两类的观察者都会遇到这种情况，因为两类之中总有一类只含一个状态。

停留时间里的线索

看不到净流量，并不总是什么也证明不了。Martínez 等人在式 (2) 中把观测记录的相对熵拆成两部分：一部分来自跳转顺序不对称，另一部分来自停留时间分布不对称。

在他们的部分隐藏网络里，观察者看得到状态 1、2 和一个由两个隐藏状态合成的类 H，并按进入 H 之前的状态给每段停留做标记。从 1 经 H 到 2 与从 2 经 H 到 1，停留时间的分布可以不同；他们的式 (11) 用这一差别给耗散定下限，即使 1 与 2 之间观测到的净流量为零也有效。

只看结合与否时，每段 B 的前后都是 E，没有方向可以标记，两部分都为零。要看出这台酶的耗散，观察者必须能分辨 ET 与 ED，或者能数出净转了几圈。

来源：I. A. Martínez

完整例题：同一台酶，四个观察者

仍取上一章的默认参数，$\sigma=139.6\,k_BT/\mathrm{s}$，平均每 $16.1\,\mathrm{ms}$ 跳一次。速率矩阵的两个非零本征值是 $(-149\pm52i)\,\mathrm{s^{-1}}$，弛豫时间约 $6.7\,\mathrm{ms}$。

相机每 $2\,\mathrm{ms}$ 拍一帧。每一万对快照里，E 到 ET 有 336.7 对，反过来 78.3 对；ET 到 ED 有 330.1 对，反过来 71.7 对；ED 到 E 有 275.2 对，反过来 16.7 对。三条边上的净差都是 258.4 对，快照看到的圈速为 $0.02584/(2\,\mathrm{ms})=12.92\,\mathrm{s^{-1}}$，低于真实的 17.45。三个对数比之和 $\ln\frac{336.7}{78.3}+\ln\frac{330.1}{71.7}+\ln\frac{275.2}{16.7}=5.79$，也小于每圈燃料 8。两者相乘，$12.92\times5.79=74.8\,k_BT/\mathrm{s}$，占真实值的 54%。

相机放慢到每 $10\,\mathrm{ms}$ 一帧，比弛豫时间还长，快照只能证明 $9.16\,k_BT/\mathrm{s}$，约 7%；加快到每 $0.1\,\mathrm{ms}$ 一帧，能证明 97%。只数圈数的观察者证明 $59.8\,k_BT/\mathrm{s}$，即 43%。只看结合与否的观察者在 $2\,\mathrm{ms}$ 快照里看到 E 到 B 与 B 到 E 各约 353.4 对，证明为零。四个数来自同一台酶，差别只在看到了什么。