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Sandbox Physics
随机热力学

L3 · 第 5 章

测量微珠位置再移动光阱，最多能提取多少功

Sandbox Physics ·

前几章里，光阱怎么动是事先定好的，平均做功总不少于自由能差。这一章换一种玩法：先看一眼珠子偏到了哪里，再决定光阱往哪儿移。只要读数有用，就能让珠子“掉”进新的光阱，由水的热运动对外做功。我们要算出这份功的大小，以及它的上限：热能乘以测量所得的信息量。

一个循环里的功和热

用 zz 表示珠子相对光阱中心的偏移，以热宽度 kBT/k\sqrt{k_BT/k} 为单位，能量以 kBTk_BT 为单位。循环开始时 zz 服从方差为 SS 的高斯分布。相机读出 y=z+εy=z+\varepsilon，误差 ε\varepsilon 的方差为 RR。随后光阱瞬间移动 gygy，gg 叫作增益。

移动的瞬间珠子来不及动，所以功只是势能的变化，见下式。接着光阱停住，珠子弛豫一段时间 twt_w，这期间不做功，势能的减少全部作为热放给水。设 a=e−2tw/τra=e^{-2t_w/\tau_r}，等待结束时偏移的方差会回到 SS，由此解出稳态方差。

取平均时用到 ⟨zy⟩=S\langle zy\rangle=S 和 ⟨y2⟩=S+R\langle y^2\rangle=S+R。提取的功为正，说明读数确实让珠子“落”到了更低的位置；第二项是误差带来的损失，增益越大，损失越多。

βW=12[(z−gy)2−z2],S=ag2R+1−a1−a(1−g)2\beta W=\tfrac12\left[(z-gy)^2-z^2\right],\qquad S=\frac{a g^2R+1-a}{1-a(1-g)^2}
第一式是一次移动对珠子做的功；第二式是方差经过“移动、弛豫”一圈后不变的条件。
−β⟨W⟩=12[(2g−g2)S−g2R]-\beta\langle W\rangle=\tfrac12\left[(2g-g^2)S-g^2R\right]
每个周期平均提取的功。增益为零时它为零，没有测量就没有功。

一次读数含有多少信息

读数 yy 对珠子位置的了解程度，用单次信息量 I=ln⁡[p(y∣z)/p(y)]I=\ln[p(y\mid z)/p(y)] 来衡量，这是 Seifert 综述的式 (151)。读数越出乎意料地贴近真实位置，这个数就越大；读数偏离得太远时，它可以是负的。

它的平均值就是互信息。对高斯读数，p(y)p(y) 的方差是 S+RS+R，p(y∣z)p(y\mid z) 的方差是 RR，两者对数之差取平均，便得到下式。它只取决于信噪比 S/RS/R，单位是 nat。

⟨I⟩=12ln⁡ ⁣(1+SR)\langle I\rangle=\tfrac12\ln\!\left(1+\frac{S}{R}\right)
误差为零时信息量发散；误差远大于珠子的抖动范围时，信息量趋于零。

来源：U. Seifert

信息量给出的上限

Sagawa 与 Ueda 证明，有反馈时 ⟨W⟩≥ΔF−kBT⟨I⟩\langle W\rangle\ge\Delta F-k_BT\langle I\rangle。循环一圈后光阱形状不变，ΔF=0\Delta F=0，所以平均提取的功不超过 kBT⟨I⟩k_BT\langle I\rangle。这里的循环从稳态而不是平衡态出发，对应的严格等式是 Seifert 综述的式 (156)，其中总熵产生 Δstot\Delta s_{\mathrm{tot}} 等于系统熵变加 βQ\beta Q。

把式 (156) 平均，并利用稳态下系统熵变的平均值等于 −Ileft-I_{\mathrm{left}}，得到更紧的上限。IleftI_{\mathrm{left}} 是周期结束时读数仍保留的、关于珠子位置的信息；它没有被用掉，等到下一次测量就作废了。等待充分时它几乎为零。

上限只约束平均值。单个周期完全可能提取比 kBT Ik_BT\,I 更多的功，正如第四章里单次拉动可以低于自由能差。等式的样本平均也和 Jarzynski 平均一样，被少数读数严重指错方向的周期主导，样本不够多时会偏低。

⟨e−(Δstot+I)⟩=1⇒−β⟨W⟩≤⟨I⟩−Ileft≤⟨I⟩\left\langle e^{-(\Delta s_{\mathrm{tot}}+I)}\right\rangle=1\quad\Rightarrow\quad -\beta\langle W\rangle\le\langle I\rangle-I_{\mathrm{left}}\le\langle I\rangle
左式对每个周期的随机量取平均，由 Jensen 不等式得到右边的平均值上限。

来源：T. Sagawa and M. Ueda · U. Seifert

最佳增益与效率

等待充分时 a→0a\to0，S→1S\to1。对增益求导并令其为零，得到最佳增益 g∗=1/(1+R)g^\ast=1/(1+R)，这时每个周期提取 12 SNR/(1+SNR)\tfrac12\,\mathrm{SNR}/(1+\mathrm{SNR}) 个热能，其中 SNR=1/R\mathrm{SNR}=1/R。读数越准，最佳增益越接近 1，也就是把光阱整个移到读数处。

提取的功最多只有半个热能，信息量却随信噪比对数增长。两者之比就是下式中的效率。信噪比趋于零时效率趋于 1；信噪比为 100 时，效率只剩约 0.21。Seifert 综述第 7.3.5 节也指出，只控制光阱中心时这个上限无法达到；要用尽信息，还得同时改变光阱刚度。

η∗=−⟨W⟩kBT⟨I⟩=SNR(1+SNR)ln⁡(1+SNR)\eta^\ast=\frac{-\langle W\rangle}{k_BT\langle I\rangle}=\frac{\mathrm{SNR}}{(1+\mathrm{SNR})\ln(1+\mathrm{SNR})}
最佳增益、充分等待下的效率。它总小于 1，在模糊读数的极限下才接近 1。

来源：U. Seifert

第二定律在哪里得到维持

这台引擎似乎从单一温度的水里源源不断地取功。缺掉的一环是控制器的记忆：读数要被记下，下一次测量前又要被擦掉。Sagawa 与 Ueda 2009 年证明，测量与擦除两步合计至少要花 kBT Ik_BT\,I 的功。把这部分算进去，整台装置每个周期净得的功不为正，第二定律依然成立。

信息可以看作一种燃料：它能换成功，每个 nat 最多换一个热能；制造并清除它，至少要付出同样多的功。

来源：T. Sagawa and M. Ueda

完整例题：模糊读数与快速循环

取光阱刚度 10 pN/μm10\,\mathrm{pN/\mu m}，热宽度为 20.4 nm20.4\,\mathrm{nm}，弛豫时间 τr=0.942 ms\tau_r=0.942\,\mathrm{ms}。测量误差 10 nm10\,\mathrm{nm} 给出 R=(10/20.35)2=0.241R=(10/20.35)^2=0.241，信噪比 4.14，最佳增益 0.806。取 g=0.8g=0.8，等待 3 ms3\,\mathrm{ms}，此时 a=0.0017a=0.0017，S=0.999S=0.999。

代入平均功公式，−β⟨W⟩=12[(1.6−0.64)(0.999)−0.64(0.241)]=0.402-\beta\langle W\rangle=\tfrac12[(1.6-0.64)(0.999)-0.64(0.241)]=0.402。信息量 12ln⁡(1+0.999/0.241)=0.818 nat\tfrac12\ln(1+0.999/0.241)=0.818\,\mathrm{nat}，效率 0.49。换成物理单位，每个周期提取 1.67 pN nm1.67\,\mathrm{pN\,nm}，平均功率约 0.56 aW0.56\,\mathrm{aW}。

再看快速循环：误差 2 nm2\,\mathrm{nm}，g=1g=1，只等 0.25 ms0.25\,\mathrm{ms}。这时 a=0.588a=0.588，R=0.0097R=0.0097，S=0.417S=0.417，珠子来不及抖回热平衡的宽度，被反馈“冷却”了。每个周期只提取 0.204 kBT0.204\,k_BT，比等足 3 ms3\,\mathrm{ms} 时的 0.494 少；但周期短了十二倍，功率从 0.1650.165 升到 0.815 kBT/ms0.815\,k_BT/\mathrm{ms}。

到实验里试一试

让信息变成功

  1. 先预测：把增益从 0.8 调到 1.8，信息量和提取的功分别怎么变？再选“移过头反要付功”验证。
  2. 依次选“看得准，信息却浪费”和“看不清，却很节省”，比较信息量和效率，用 η∗\eta^\ast 公式检验两个效率值。
  3. 看中间的散点图：线上方的周期超过了上限。数一数它们的占比，再看平均点落在线的哪一侧。
  4. 拖动大光阱的把手，在珠子偏离时把光阱移过去。比较你提取的功和自动反馈的结果，想一想你的“读数”有多准、有多快。

练习与解答

  1. 等待充分时，测量误差为零，增益取 1。每个周期平均提取多少功？效率是多少？

    展开解答

    此时 S=1S=1，R=0R=0，提取 12kBT\tfrac12k_BT，就是珠子平均势能的全部。信息量 12ln⁡(1+1/R)\tfrac12\ln(1+1/R) 发散，效率趋于零：精确读数里的绝大部分信息用不上。

  2. 信噪比为 1，等待充分。求最佳增益、每个周期提取的功和效率。

    展开解答

    最佳增益 g∗=1/2g^\ast=1/2，提取 12⋅12=0.25 kBT\tfrac12\cdot\tfrac12=0.25\,k_BT，信息量 12ln⁡2=0.347 nat\tfrac12\ln2=0.347\,\mathrm{nat}，效率 1/(2ln⁡2)=0.721/(2\ln2)=0.72。

  3. 为什么增益超过 2 时（等待充分），无论读数多准，引擎都在付出功？

    展开解答

    等待充分时 −β⟨W⟩=12[(2g−g2)−g2R]-\beta\langle W\rangle=\tfrac12[(2g-g^2)-g^2R]。当 g>2g>2 时 2g−g2<02g-g^2<0，两项都为负。光阱越过珠子太远，珠子在新光阱里的位置比原来更高，每次移动都在给它加能量。

来源与复算范围

  1. U. Seifert, Stochastic thermodynamics, fluctuation theorems and molecular machines, arXiv:1205.4176v1; Reports on Progress in Physics 75, 126001 (2012)

    2012 年 5 月 18 日 v1。第 2 节：过阻尼 Langevin 动力学，式 (14) 定义交给环境的热，式 (15)—(19) 给出单条轨迹的第一定律。第 4 节：式 (58) 与 (61)，即 Jarzynski 等式与 Crooks 关系。第 6.2 节：主方程的熵产生，式 (120)—(129)。第 7.2 节：用相对熵给耗散定下限，式 (146)—(150)。第 7.3 节：测量与反馈，式 (151)—(163)。

  2. T. Sagawa and M. Ueda, Generalized Jarzynski equality under nonequilibrium feedback control, arXiv:0907.4914v3; Physical Review Letters 104, 090602 (2010)

    2010 年 1 月 20 日 v3。式 (3)：有反馈时，平均功最多可以比自由能差低热能乘互信息。式 (4)：从平衡态出发时与之对应的等式。课程里的光阱引擎及其数值是课程自己的。

  3. T. Sagawa and M. Ueda, Minimal energy cost for thermodynamic information processing: measurement and information erasure, arXiv:0809.4098v3; Physical Review Letters 102, 250602 (2009)

    2009 年 5 月 30 日 v3。式 (4)：测量并随后擦除记录，两步合计至少要花热能乘所得的互信息。

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