FR25 · 反馈与信息

信息引擎：测量微珠位置换来的功

测一次光阱里微珠的位置，最多能换来多少功？什么在限制它？ 测出光阱里的微珠偏到了哪里，再把光阱移向它，微珠的能量就会下降，由水的热运动对外做功。平均下来，这份功不超过热能乘以测量所带的互信息。只移动光阱只能用掉其中一部分：读数很准时，大部分信息被浪费；读数模糊、增益取小时，大部分信息都能变成功。

测出微珠在光阱里的位置，把光阱移向它，就能从水的热运动中提取功。平均提取量不超过互信息。

每周期提取的功 $0.409\,k_{\mathrm B}T$

每次测量的信息量 $0.834\,\mathrm{nat}$

信息转化成功的比例 $49.1\,\%$

功率 $0.136\,k_{\mathrm B}T/\mathrm{ms}$

把测量变成功

测量误差

10

\sigma_m\;(\mathrm{nm})

反馈增益

0.8

g

两次测量的间隔

3

t_w\;(\mathrm{ms})

拖动青色把手，亲手移动上方的大光阱。

采样种子

64 台引擎的随机种子

2511

模型、单位与来源

$k_{\mathrm B}T=4.142\,\mathrm{pN\,nm},\quad k=10\,\mathrm{pN}/\mu\mathrm{m},\quad \sqrt{k_{\mathrm B}T/k}=20.4\,\mathrm{nm},\quad \tau_r=\gamma/k=0.942\,\mathrm{ms}$

每个周期都从反馈回路的稳态出发。对微珠做功、放给水的热取正，信息以 nat 为单位。64 台引擎各运行 60 个周期，噪声互相独立。

Sagawa & Ueda (2010), Eqs. 3–4 · Seifert (2012), Eqs. 151–163 · Sagawa & Ueda (2009), Eq. 4

推导信息上限

模型假设

模型是一颗半径 0.5 µm 的过阻尼微珠，在 300 K 的水中沿一维运动，光阱刚度 10 pN/µm。每个周期先以高斯误差测量位置，再把光阱瞬间移动“增益乘测得偏移”，然后让微珠在等待时间内精确弛豫。不计测量本身和擦除记录的代价。所有周期均为模型模拟，未展示实测数据。

功与信息随增益的变化

单个周期可以超过上限，平均值不能

64 台引擎的累计功

更多数值与计算方法

每周期平均提取功的精确值: $0$
模拟平均功的标准误: $0$
每次测量互信息的精确值: $0$
周期结束时仍未用掉的信息: $0$
测量前微珠位置方差与热平衡方差之比: $0$
读数的信噪比: $0$
充分等待时的最佳增益: $0$
该增益下的效率: $0$
精确等式的样本平均（期望为 1）: $0$
其中最大单个周期的占比: $0$
平均总熵产生加信息量: $0$
弛豫时间: $0$
引擎数乘周期数: $0$

精确值来自周期稳态方差的闭式解。标准误由 64 台引擎各自平均值的离散度得到。精确等式的样本平均会被少数读数指错方向的周期拉低，要有多得多的周期才会接近 1，这与 Jarzynski 平均的情形相同。

先抓重点

核心问题: 测一次光阱里微珠的位置，最多能换来多少功？什么在限制它？
一句话直觉: 每个周期平均提取的功，不会超过热能乘以微珠位置与读数之间的互信息。测得越准，信息越多，但一次移动光阱最多只能用掉约半个热能，所以模糊的读数配上较小的增益，效率反而最高。

核心数学模型

一次瞬间移动的功

W=\tfrac{k}{2}\left[(z-gy)^2-z^2\right],\qquad y=z+\varepsilon

式中 $z$ 是微珠相对光阱中心的偏移， $y$ 是带高斯误差 $\varepsilon$ 的读数， $g$ 是增益。移动瞬间微珠来不及动，所以功就是势能的变化。

高斯读数的互信息

\langle I\rangle=\tfrac12\ln\!\left(1+\frac{\sigma_z^2}{\sigma_m^2}\right)

它比较微珠位置的分布宽度 $\sigma_z$ 和测量误差 $\sigma_m$ ，单位是 nat。

Sagawa–Ueda 上限

-\langle W\rangle\le k_{\mathrm B}T\,\langle I\rangle,\qquad \left\langle e^{-(\Delta s_{\mathrm{tot}}+I)}\right\rangle=1

在稳态循环中，平均提取的功以信息量为上限。背后的等式对每个周期都严格成立，但它的平均值由少数误导性读数主导。

充分等待时的最佳增益

g^\ast=\frac{\mathrm{SNR}}{1+\mathrm{SNR}},\qquad \eta^\ast=\frac{\mathrm{SNR}}{(1+\mathrm{SNR})\ln(1+\mathrm{SNR})}

其中 $\mathrm{SNR}=k_{\mathrm B}T/(k\sigma_m^2)$ 。只有读数非常模糊时，最佳增益下的效率才接近 1。

常见难点

从单一热源取功

容易误解从单一温度的水里取功违反第二定律。

正确理解这台引擎靠信息驱动。记录读数、日后擦除记录，至少要花热能乘同样多的信息，合起来仍符合第二定律。

动手实验

01
看一个周期
看上方的大光阱：粉色线是读数，箭头是光阱的移动。
你会看到： 读数准确时，移动后微珠处在更低的位置，这个周期就提取到功。下方每个小光阱是 64 台引擎之一。
02
移过头
选择“移过头反要付功”。
你会看到： 光阱越过微珠，小珠子变红，平均功变成负值，尽管信息量与之前相同。
03
自己当妖
每当微珠偏离中心，就把光阱把手拖向它。
你会看到： 又快又准的移动能取到功；随手乱拖则把功还给水。

信息引擎：测量微珠位置换来的功

一次测量可以换来功

核心数学模型

一次瞬间移动的功

高斯读数的互信息

Sagawa–Ueda 上限

充分等待时的最佳增益

常见难点

从单一热源取功

动手实验

看一个周期

移过头

自己当妖

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