跳到主要内容
Sandbox Physics
随机热力学

L3 · 第 6 章

燃料驱动的酶每秒产生多少熵

Sandbox Physics ·

前五章跟踪的是连续光阱里的一颗珠子。细胞里的许多分子机器却在几个离散状态之间跳：酶先结合 ATP，把它水解并放出磷酸，再放出 ADP，回到空载。每一步何时发生是随机的，燃料让它往前跳得更多。这一章写出这个三步循环的主方程，求出稳态下每秒转几圈，证明每秒产生的熵等于圈速乘每圈燃料。最后假设观察者只会数圈数，看凭计数的涨落能证明多少熵产生。

三个状态与六个速率

把酶的三个状态编号为 0、1、2：空载 E，结合 ATP 的 ET，结合 ADP 的 ED。从状态 ii 往前跳到 i+1i+1 的速率记为 wi+w^+_i，反方向记为 wi−w^-_i，编号按 3 循环，从 2 往前跳就回到 0。往前转一整圈，消耗一个 ATP，放出一个 ADP 和一个磷酸。

能量以 kBTk_BT 为单位。燃料每圈释放的自由能是 Δμ=μATP−μADP−μPi\Delta\mu=\mu_{\mathrm{ATP}}-\mu_{\mathrm{ADP}}-\mu_{\mathrm{P_i}}，这里把它平均分到三步上；状态 ii 自身的自由能记为 EiE_i，取 E0=0E_0=0。局域细致平衡要求每一步正反速率之比等于这一步自由能的下降，见下式。热力学只规定这个比值，速率本身有多快取决于酶的结构，这里取示意值。

三个比值相乘，EiE_i 全部消掉，只剩 eΔμe^{\Delta\mu}。燃料为零时正反两个方向的速率乘积相等，酶没有偏好的转向。

wi+wi−=eEi−Ei+1+Δμ/3,∏i=02wi+wi−=eΔμ\frac{w^+_i}{w^-_i}=e^{E_i-E_{i+1}+\Delta\mu/3},\qquad \prod_{i=0}^{2}\frac{w^+_i}{w^-_i}=e^{\Delta\mu}
左式是一步的局域细致平衡，右式是转一整圈的结果。

来源：A. C. Barato and U. Seifert

主方程与稳态

设 pi(t)p_i(t) 是酶处在状态 ii 的概率，JiJ_i 是从 ii 流向 i+1i+1 的净概率流。状态 ii 的概率每秒增加多少，等于流进减流出，这就是主方程。

稳态时每个 pip_i 不再变，三条边上的净流量于是相等，记为 JJ，单位是每秒圈数。再加上 p0+p1+p2=1p_0+p_1+p_2=1，三元一次方程组就能解出三个概率。哪个状态后面的那一步慢，酶就在哪个状态停得久。

dpidt=Ji−1−Ji,Ji=pi wi+−pi+1 wi−\frac{dp_i}{dt}=J_{i-1}-J_i,\qquad J_i=p_i\,w^+_i-p_{i+1}\,w^-_i
稳态时三个净流量相等，都等于循环流。

熵产生率等于圈速乘燃料

第四章说，正反过程的概率之比衡量耗散。用在跳跃过程上，这个想法给出 Seifert 综述的式 (128)：对每一对状态，用正向流量乘以正反流量之比的对数，加起来就是总熵产生率。

把相反的两项配对，每条边贡献 Jiln⁡[piwi+/(pi+1wi−)]J_i\ln[p_iw^+_i/(p_{i+1}w^-_i)]。稳态时各个 JiJ_i 都等于 JJ，提出来以后，对数里的概率比绕一圈相消，速率比相乘得到 eΔμe^{\Delta\mu}，于是熵产生率就是 JΔμJ\Delta\mu。每转一圈，燃料的自由能 Δμ\Delta\mu 全部变成热，散进周围的水里。

σ=∑m≠npmwmnln⁡pmwmnpnwnm=J Δμ\sigma=\sum_{m\ne n}p_m w_{mn}\ln\frac{p_m w_{mn}}{p_n w_{nm}}=J\,\Delta\mu
以每秒多少 kBTk_BT 计。状态能量 EiE_i 只改变 JJ，每圈的耗散仍是 Δμ\Delta\mu。

来源：U. Seifert

只数圈数能证明多少

假设观察者分不清酶处在哪个状态，只能数净转了几圈，比如数放出的 ADP 减去重新结合的 ADP。时间 tt 内的净圈数 XtX_t 平均为 JtJt，方差随时间线性增长，记为 2Dt2Dt，DD 叫作圈数的扩散系数。

Barato 与 Seifert 2015 年提出热力学不确定关系：圈数越准，耗散越多。他们用乘积 Q=2σD/J2\mathcal{Q}=2\sigma D/J^2 来表述，证明单环网络满足 Q≥2\mathcal{Q}\ge2，并对 NN 个状态的单环给出更紧的式 (20)。把它倒过来读，J2/DJ^2/D 就是只凭计数能证明的熵产生下限。

三个状态能量相同、三步速率也相同时，可以直接验算。每一步正向速率为 k+k^+、反向为 k−k^-，酶在位点上做有偏随机行走，三步算一圈，所以 J=(k+−k−)/3J=(k^+-k^-)/3，D=(k++k−)/18D=(k^++k^-)/18，而 ln⁡(k+/k−)=Δμ/3\ln(k^+/k^-)=\Delta\mu/3。代入后得到下面第二式，正好让式 (20) 取等号：燃料和状态数相同时，付出同样多的熵产生，均匀环数出的圈数最准。

燃料少时这个比例接近 1，计数几乎能证明全部熵产生；燃料多时比例约为 6/Δμ6/\Delta\mu，计数只能证明一小部分。精度的代价也由此而来：要让圈数的相对误差小到 ϵ\epsilon，至少要消耗 2kBT/ϵ22k_BT/\epsilon^2。

σ≥J2D,Q=2σDJ2≥Δμ3coth⁡Δμ6≥2\sigma\ge\frac{J^2}{D},\qquad \mathcal{Q}=\frac{2\sigma D}{J^2}\ge\frac{\Delta\mu}{3}\coth\frac{\Delta\mu}{6}\ge 2
第一式是计数能证明的下限；第二式是 Barato 与 Seifert 的式 (20) 取 N=3N=3 的形式。
J2/Dσ=2(k+−k−)(k++k−)ln⁡(k+/k−)=tanh⁡(Δμ/6)Δμ/6\frac{J^2/D}{\sigma}=\frac{2(k^+-k^-)}{(k^++k^-)\ln(k^+/k^-)}=\frac{\tanh(\Delta\mu/6)}{\Delta\mu/6}
均匀三态环上，计数能证明的熵产生占总量的比例。

来源：A. C. Barato and U. Seifert

完整例题：被 ATP 驱动的酶

取 Lab 的默认值：Δμ=8\Delta\mu=8，E1=−1E_1=-1，E2=1E_2=1，三步的基础速率都是 20 s−120\,\mathrm{s^{-1}}，自由能下降在正反速率之间各分一半。第 0 步和第 2 步都下降 1+8/3=3.671+8/3=3.67，速率为 125 s−1125\,\mathrm{s^{-1}} 和 3.20 s−13.20\,\mathrm{s^{-1}}；水解一步只下降 0.6670.667，速率为 27.9 s−127.9\,\mathrm{s^{-1}} 和 14.3 s−114.3\,\mathrm{s^{-1}}。

解稳态得 p=(0.157, 0.699, 0.144)p=(0.157,\,0.699,\,0.144)：酶七成时间停在 ET，等那一步慢的水解。验算两条边，0.157×125−0.699×3.20=17.40.157\times125-0.699\times3.20=17.4，0.699×27.9−0.144×14.3=17.40.699\times27.9-0.144\times14.3=17.4，精确值 J=17.45 s−1J=17.45\,\mathrm{s^{-1}}。熵产生率 σ=17.45×8=139.6 kBT/s\sigma=17.45\times8=139.6\,k_BT/\mathrm{s}。

圈数的扩散系数没有这么简单的公式，Lab 由速率矩阵算出 D=5.09 s−1D=5.09\,\mathrm{s^{-1}}。于是 J2/D=17.452/5.09=59.8 kBT/sJ^2/D=17.45^2/5.09=59.8\,k_BT/\mathrm{s}，只占 σ\sigma 的 43%。Q=2×139.6×5.09/17.452=4.67\mathcal{Q}=2\times139.6\times5.09/17.45^2=4.67，高于式 (20) 的 (8/3)coth⁡(4/3)=3.06(8/3)\coth(4/3)=3.06。同样的燃料下，均匀环能让计数证明 65%；这里能级高低不平，圈数的相对涨落变大，计数能证明的就少了。

到实验里试一试

数圈数能证明多少

  1. 先预测：每圈燃料从 8 降到 1，计数能证明的比例变大还是变小？选“接近平衡，计数就够”验证，再选“燃料充足，计数不足”。
  2. 用 tanh⁡(Δμ/6)/(Δμ/6)\tanh(\Delta\mu/6)/(\Delta\mu/6) 算出这两个预设的比例，与细节里“数循环能证明的比例”对照。
  3. 回到默认，拖动 ↕ 把手抬高 ET。看熵产生、循环速率和计数下限怎么变，再说明熵产生为什么仍等于循环速率乘 8。

练习与解答

  1. 均匀三态环上，每圈燃料多大时，计数只能证明一半的熵产生？

    展开解答

    令 x=Δμ/6x=\Delta\mu/6，解 tanh⁡x/x=1/2\tanh x/x=1/2，数值解为 x=1.915x=1.915，所以 Δμ≈11.5 kBT\Delta\mu\approx11.5\,k_BT。

  2. 一台三态单环酶，每圈燃料 8 kBT8\,k_BT，要让圈数的相对误差降到 1%。按式 (20)，它至少要消耗多少自由能、转多少圈？

    展开解答

    式 (20) 给出 Q≥3.06\mathcal{Q}\ge3.06，而 σt=Q/ϵ2\sigma t=\mathcal{Q}/\epsilon^2，所以至少消耗 3.06×104 kBT3.06\times10^4\,k_BT。每圈 8 kBT8\,k_BT，至少约 3830 圈。默认参数下 Q=4.67\mathcal{Q}=4.67，需要约 5840 圈。

  3. 改变 ET 和 ED 的能级，熵产生率为什么仍等于循环流乘燃料？能级改变的又是什么？

    展开解答

    绕一圈时各步自由能下降之和是 ∑i(Ei−Ei+1)+Δμ=Δμ\sum_i(E_i-E_{i+1})+\Delta\mu=\Delta\mu，能级两两相消；稳态下概率比的对数也绕一圈相消。能级改变的是各步速率，从而改变 JJ 和 DD，也就改变每秒的熵产生和计数能证明的比例。

来源与复算范围

  1. U. Seifert, Stochastic thermodynamics, fluctuation theorems and molecular machines, arXiv:1205.4176v1; Reports on Progress in Physics 75, 126001 (2012)

    2012 年 5 月 18 日 v1。第 2 节：过阻尼 Langevin 动力学，式 (14) 定义交给环境的热，式 (15)—(19) 给出单条轨迹的第一定律。第 4 节：式 (58) 与 (61)，即 Jarzynski 等式与 Crooks 关系。第 6.2 节：主方程的熵产生，式 (120)—(129)。第 7.2 节：用相对熵给耗散定下限，式 (146)—(150)。第 7.3 节：测量与反馈，式 (151)—(163)。

  2. A. C. Barato and U. Seifert, Thermodynamic uncertainty relation for biomolecular processes, arXiv:1502.05944v2; Physical Review Letters 114, 158101 (2015)

    2015 年 4 月 30 日 v2。式 (4)：有偏随机行走的耗散乘相对不确定度的平方等于 A coth(A/2)，至少为两个热能单位。式 (7) 与 (10)：一般网络的扩散常数与乘积 Q。式 (19)：三态 ATP 水解循环。式 (20)：N 个状态的环上更紧的下限。课程里的酶速率与数值是课程自己的。

反馈这个页面有错误、看不明白，或者缺了什么？告诉我们
反馈类型

提交时会附带本页地址、Lab ID、网站语言和设备类型。请不要填写个人信息。反馈最多保存 12 个月。隐私政策