拉出一根膜管要多大的力

把膜库和一根长圆柱放在一起

取半径 $r$、长度 $L$ 的圆柱，忽略两端的连接区。管轴沿正向，拉力 $f$ 也取正。圆柱两个主曲率为 $1/r$ 和零；自发曲率与压差先设为零。膜从一个足够大的膜库取面积，张力 $\sigma$ 保持给定。

管面积为 $2\pi rL$。把每单位面积的弯曲代价乘面积，再加从膜库取面积的张力代价，就得到每单位长度的能量。这里固定张力的条件与形状实验固定总面积的条件不同。

来源：I. Derényi · W. Helfrich

先求半径，再对长度求导

固定长度，对半径求导。第一项的斜率为负，第二项为正；令两者相消。由于二阶导数为正，这一驻点是圆柱半径方向的极小值。

把最优半径代回每单位长度能量。能量随长度线性增长，因此 $f_0=\partial G/\partial L$ 是常数。这个平台属于已经形成、足够长的膜管。最初从平面拉出突起时，端区会带来不同的形状与力。

来源：I. Derényi · W. Helfrich

移动仪器，不全是在拉长膜管

把拉膜的探针连到刚度为 $k$ 的线性弹簧。设膜库到弹簧支点的轴向距离为 $X$，有效管长为 $L$，弹簧伸长为 $x=X-L$。仪器静力平衡要求弹簧拉力等于膜管拉力。

在长管平台上，弹簧伸长保持恒定；继续移动支点才几乎全部转为管长。较软仪器需要更大偏移才能提供同样的力。若长度已经接近端区尺度，就应停止使用这套长圆柱公式。实验台从已有长管开始，支点行程是在初始支点位置上继续增加的位移。运动过程中流体阻力让瞬时弹簧力暂时偏离平台值，停稳后才回到上述平衡。

完整例题：看清力和位移的数量级

取教学参数 $\kappa=80\,\mathrm{pN\,nm}$、$\sigma=0.010\,\mathrm{pN\,nm^{-1}}$。先算 $r_0=\sqrt{80/0.020}\,\mathrm{nm}\simeq63.2\,\mathrm{nm}$，再算 $f_0\simeq7.95\,\mathrm{pN}$。半径比微米级囊泡小得多，画装置时通常需要放大管径。

设 $k=0.050\,\mathrm{pN\,nm^{-1}}$，支点距离 $X=2.00\,\mu\mathrm m$。弹簧偏移约 $159\,\mathrm{nm}$，留给管长约 $1.84\,\mu\mathrm m$。若把支点距离直接当作管长，就会多算这段弹簧偏移。

张力加倍会让管变细、拉力变大；刚度加倍则让管变粗、拉力也变大。两个量一起观察，比只看拉力平台更容易分辨变化来源。

用两种观测找回两个参数

只测平台力得到的是 $\kappa\sigma$ 的乘积。补上半径测量，把力和半径相乘可求刚度，把力除以半径可求张力。第二种观测需要独立成像或其他半径测量，保留独立于所假定刚度的信息。