相机为什么会把膜拍得更硬

曝光拍到一段时间的平均

设一个实模 $q(t)$ 的平衡时间相关为 $\langle q(t)q(0)\rangle=C_0e^{-\lambda|t|}$ 。 $\lambda$ 是每秒的松弛率， $1/\lambda$ 是典型记忆时间。相机曝光时长为 $T_e$ ，观测的是这段时间内的平均。

平均值的方差需要把曝光窗口内的每一对时刻相乘后求和。相关只取决于两时刻的距离，双重积分可折成一个三角形权重积分。窗口越长，正负起伏越容易互相抵消。

\bar q=\frac1{T_e}\int_0^{T_e}q(t)\,\mathrm dt,\qquad \langle\bar q^2\rangle=\frac{2C_0}{T_e^2}\int_0^{T_e}(T_e-t)e^{-\lambda t}\,\mathrm dt

三角形权重统计曝光窗口内具有相同时间差的时刻对。

\langle\bar q^2\rangle=C_0B(\lambda T_e),\qquad B(x)=\frac{2(x-1+e^{-x})}{x^2}

短曝光时

B\to1

；长曝光时

B\sim2/x

。计算很小的自变量时应使用级数，避免两个相近数相减损失精度。

再把圆周分为 $N$ 个等角宽像素。若每个像素保存角宽内的平均半径，余弦模会被一个 sinc 因子压低。低模数受影响小，接近像素尺度的细波纹衰减更明显。

赤道轮廓的一个模含有多个球面模，它们的松弛速度不同。曝光因子要放在球面模求和里面，分别作用于各自的松弛率。独立定位噪声另加在观测谱上。

W_m=\operatorname{sinc}\!\left(\frac{m\pi}{N}\right),\qquad \operatorname{sinc}(z)=\frac{\sin z}{z}

像素平均作用在振幅上；功率或方差乘它的平方。

S_m^{\rm obs}=W_m^2\sum_\ell w_{\ell m}^2\frac{k_BT}{\kappa E_\ell}B(\lambda_\ell T_e)+S_m^{\rm noise}

这是有限球谐模型、零焦深赤道切片、角向箱形像素与曝光平均下的观测谱。有限焦深需要另换光学算子。

先取一个已知松弛率的独立模，忽略像素和定位噪声。令曝光时间恰好等于记忆时间，即 $\lambda T_e=1$ 。代入得 $B(1)=2/e\simeq0.736$ ，相机只留下约七成四的方差。

若真实刚度为 $20k_BT$ ，无量纲张力固定且已知，而拟合错用了瞬时热均分公式，它会把减小的方差解释为刚度增大，得到 $20/0.736\simeq27.2k_BT$ 。在这个单模例子里，曝光本身造成约三成六的高估。

真实多模拟合同时改变刚度、张力和松弛率，偏差不会总是这个比例。这个例题指出偏差的方向和来源；完整观测模型才能检验一组具体参数。

一份可重算的模拟记录需要保存每帧的径向像素、时间、种子、模型版本、像素宽度、曝光、单位和真值参数。分析函数只读取这些像素，对已居中的轮廓做模分解、去掉时间均值并计算谱，再拟合候选参数。模型真值用于事后比较，不能参与算出估计值。

同一份记录分别套用瞬时模型和相机校正模型，可以隔离分析方法的差异。换种子重复采集，才开始观察有限样本的随机波动。曝光、轮廓噪声、模截断和观察几何则构成不同的系统误差来源。

遇到低模数全被张力压住、高模数又埋进噪声的记录，正确做法是报告刚度与张力的耦合，而不是保留拟合器输出的所有小数。缩短曝光、提高空间分辨率或加入独立张力测量，都可能比延长视频更有帮助。

膜运动经过定义好的相机响应，才成为可保存、可拟合的轮廓；真值参数在拟合后单独比较。原创测量流程示意。