FR20 · 膜涨落测量

从膜的颤动测出弯曲刚度

相机能从膜的颤动看出它有多难弯吗？ 软膜比硬膜更容易被热运动弯出起伏。比较不同波长的起伏强度，可以估计弯曲刚度；拟合时还要算进膜张力，以及成像时被抹掉的细小、快速起伏。

先看膜怎样颤动，再从保存的轮廓逐帧估计弯曲刚度。延长曝光会抹平快速运动；有记忆的主动推力还会改变涨落的时间节奏。

看懂膜的颤动

弯曲刚度

\kappa/(k_{\rm B}T)

20

约化张力

\bar\sigma

2

曝光时间，秒

T_{\rm exp}

0.04

轮廓像素数

N

64

主动与热涨落方差比

A

0

沿膜边拖动金色标记，换一个角度观察。滑动参数会生成新的轮廓录像。

采集与主动推力设置

主动推力持续时间，秒

3

随机种子

每份录像含 768 帧，间隔四分之一秒。半径为十微米，热浴温度为 298 开尔文，黏度为一毫帕秒。像素沿角向平均，焦面采用理想赤道切面。

模型与显示

图中径向起伏放大两倍。金色标记读取同一份已存轮廓，不施加力。回放速度为物理时间的三倍，圆形虚线表示平均半径。

主动对照选用保留的最低实球谐模。数学上的被动参考提高热噪声，保持弹性与摩擦不变，以匹配理论方差。有色推力曝光采用十二个子步积分，被动曝光则按精确联合分布采样。

模型假设

模型在近球形展开中保留到十二阶球谐模。张力决定平均多余面积，线性化的逐帧形状不严格保持面积与体积。光学切面恰好经过赤道，不计有限焦深与定位噪声；角向像素平均和曝光会作用于保存的轮廓。主动推力采用线性有色噪声模型。记录均为合成数据，不对应某种脂质或细胞的实验拟合。

模拟膜轮廓相机采样

赤道切面 · 径向起伏放大两倍

模型刚度

$\kappa/(k_{\rm B}T)$

20

计入相机响应的估计

$\widehat\kappa/(k_{\rm B}T)$

20

忽略相机响应的估计

$\widehat\kappa_{\rm naive}/(k_{\rm B}T)$

20

估计的约化张力

$\widehat{\bar\sigma}$

20

已存像素留下了什么

已存轮廓频谱拟合的相机模型理想热平衡参考

$m,\qquad \tfrac12\langle a_m^2+b_m^2\rangle$

两轴均取对数。散点由已存径向像素做 Fourier 变换得到。拟合同时改变刚度与张力，相机响应视为已知。

起伏同样大，记忆却不同

主动相关匹配的被动相关一减去归一化响应

$t\;[\mathrm s],\qquad C(t)/C(0),\quad 1-K\chi(t)$

实线为所定义线性模型的参考，散点为已存瞬时模样本的时间相关。被动参考提高了温度，理论方差与主动模相同。

拟合前的一帧记录

导入 JSON

$\varphi\;[\mathrm{rad}],\qquad [r(\varphi)-R]/R$

青线是曝光结束时的模拟瞬时轮廓，橙点是曝光平均后的像素记录。刚度拟合只读取橙点。导出文件保留所有径向像素、采样时刻、种子、参数、单位与模型版本。

拟合范围、响应与数值限制

$X(\omega)=\frac{\omega S_x(\omega)}{2k_{\rm B}T_{\rm eff}\operatorname{Im}\chi(\omega)}$

在最低模弛豫频率处，这个比值为 $1$ . 有效温度按方差匹配。平衡态在所有频率下均为一；有色推力会让比值依赖频率。

Pécréaux 等 · 轮廓分析与曝光修正
Loubet、Seifert 与 Lomholt · 主动膜涨落

先抓重点

核心问题: 相机能从膜的颤动看出它有多难弯吗？
一句话直觉: 从录像反推刚度，要先算清相机怎样改变每个涨落模。

核心数学模型

热平衡的形状模

\langle a_{\ell m}^2\rangle=\frac{1}{\kappa_* (\ell-1)(\ell+2)[\ell(\ell+1)+\bar\sigma]},\qquad \kappa_*=\frac{\kappa}{k_{\rm B}T}

系数乘在正交归一的实球谐函数前。平移和平均半径已经去掉。高阶模主要受弯曲刚度控制，张力对长波更明显。

曝光平均会压低涨落

B(x)=\frac{2(x-1+e^{-x})}{x^2},\qquad x=\lambda_\ell T_{\rm exp}

每个被动模的时间相关按指数衰减。曝光期间平均位移后，方差要乘这个因子，快速模被压低得最厉害。

有记忆的推力

\dot x=-\lambda x+f+\xi_{\rm th},\qquad \dot f=-f/\tau_a+\xi_a

额外推力有自己的持续时间。被动对照提高温度，让方差与主动模相同；两者的机械响应保持一致。

常见难点

拟合也需要相机模型

容易误解录像里轮廓很平滑，说明膜很硬。

正确理解曝光和像素平均也会抹平轮廓。修正后的拟合从已存径向像素出发，并使用已知的相机设置。

动手实验

01
先猜快门会漏掉什么
比较“热涨落让膜轻轻颤动”和“相机抹平快速运动”，留意已存频谱的高阶端。
你会看到： 曝光变长，橙色轮廓的小波纹变弱。忽略相机响应，会把同一张膜误判得更硬。
02
分清张力与弯曲
选择“张力压住长波”，固定“弯曲刚度”，只调“约化张力”。
你会看到： 大尺度的起伏先收缩。把多个阶数一起拟合，才有机会分清张力与弯曲刚度。
03
同样起伏也可能记得更久
选择“同样起伏，记忆不同”，比较下方已存模的时间相关和响应参考。
你会看到： 理论方差相同，主动模仍会记得更久。用一个有效温度，无法让它在所有频率下同时满足平衡的相关与响应关系。

从膜的颤动测出弯曲刚度

已存像素留下了什么

起伏同样大，记忆却不同

拟合前的一帧记录

膜的颤动就是刚度探针

核心数学模型

热平衡的形状模

曝光平均会压低涨落

有记忆的推力

常见难点

拟合也需要相机模型

动手实验

先猜快门会漏掉什么

分清张力与弯曲

同样起伏也可能记得更久

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