FR20 · 弯曲与拉力

拉出一根膜管

为什么长膜管越拉越长，所需的力却几乎不变？ 长膜管会选定一个让弯曲与张力平衡的管径。此后每拉长同样一段，耗能相同，静态拉力就保持不变。拉得快时还要克服阻力；光阱停下来，这部分额外拉力会逐渐消退。

拖动光阱，拉长一根已经形成的膜管。看微珠怎样落后于光阱，再停下来，等拉力回到稳定值。

膜管半径 $58.6\,\mathrm{nm}$

光阱拉力 $8.83\,\mathrm{pN}$

膜管长度 $1.60\,\mathrm{\mu m}$

微珠偏离光阱 $147\,\mathrm{nm}$

拉一下，再停住

弯曲刚度

20

\kappa/(k_{\mathrm B}T)

膜张力

0.012

\sigma\;(\mathrm{pN/nm})

光阱刚度

0.06

k_{\mathrm{trap}}\;(\mathrm{pN/nm})

拉伸距离

1400

\Delta X\;(\mathrm{nm})

光阱速度

500

v\;(\mathrm{nm/s})

拖动琥珀色光阱拉伸微珠。暂停后，仔细看两者的间距。

模型、单位与来源

膜管已经形成，膜库维持张力，光阱为线性弹簧。指定的有效阻力描述耗散运动。

$k_{\mathrm B}T=4.114\,\mathrm{pN\,nm},\quad\zeta=0.012\,\mathrm{pN\,s/nm}$

Derényi, Jülicher & Prost (2002), Eqs. (1)–(2)

推导膜管拉力

模型假设

模型从已经形成的长圆柱膜管开始，膜管与张力固定的平坦膜库交换脂质。弯曲刚度与张力决定管径和静态拉力；线性光阱与指定的有效阻力决定拉伸速度。不含压差、自发曲率、膜管成核、颈部力学、有限膜库耗尽和微珠布朗运动。膜管与微珠采用同一长度比例，连接颈部与膜库边缘为示意。所有曲线均为模型模拟。

拉力随时间变化，单位为皮牛与秒

轨迹怎样计算

先固定光阱，再匀速拉动，最后停住等待。每一段均用线性方程的精确传播解计算。导出文件含所有时刻、位置、拉力、单位和模型版本。阻力为教学参数，并未标定某台具体仪器。

先抓重点

核心问题: 为什么长膜管越拉越长，所需的力却几乎不变？
一句话直觉: 管径稳定以后，每拉长同样一段，增加的膜能相同。

核心数学模型

每单位管长的能量

E/L=\pi\kappa/r+2\pi\sigma r

细管弯得厉害，第一项偏大；粗管每拉长一段消耗的膜面积更多，第二项偏大。

管径与静态拉力

r_0=\sqrt{\kappa/(2\sigma)},\qquad f_0=2\pi\sqrt{2\kappa\sigma}

先对半径求能量最低点，再对管长求导。这两个结果适用于压差可忽略的长圆柱膜管。

光阱测到什么

F=k_{\mathrm{trap}}(X-L),\qquad\zeta\dot L=F-f_0

光阱位置与膜管末端位置沿同一轴线计量，两者都扣除了相同的微珠半径偏置。光阱拉力超过静态膜管拉力的部分，用来克服指定的有效阻力。

常见难点

平台力与运动的微珠

容易误解光阱拉力始终等于静态膜管拉力。

正确理解以有限速度拉动时，微珠还要克服阻力，拉力会更大。光阱停下以后，微珠继续追上来，拉力才逐渐回落。

动手实验

01
先看微珠落后
观察“膜管慢慢长大”，在拉伸过程中暂停。
你会看到： 琥珀色光阱中心在青色微珠前面，两者间距决定下方曲线中的拉力。
02
改变张力
选择“张力收细膜管”。
你会看到： 管径缩小，静态拉力升高。
03
亲手移动光阱
拖动琥珀色光阱把手，再松开。
你会看到： 微珠滞后着追过来，最后停在静态拉力所需的偏移处。

拉出一根膜管

拉快一点，就要多用一点力

膜管怎样在弯曲与面积之间取舍

核心数学模型

每单位管长的能量

管径与静态拉力

光阱测到什么

常见难点

平台力与运动的微珠

动手实验

先看微珠落后

改变张力

亲手移动光阱

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