B-X2 · 从小球运动找到力的刻度

光镊：用布朗运动标定刚度

小球的热运动怎样告诉我们光阱有多硬？ 光阱越硬，小球的热运动幅度越小，偏离中心后回得也越快。温度已知时，位移方差能给出刚度；再知道流体阻力，就能用弛豫速度做第二次估计。

在液体中记录小球位置信号，计算位移谱，再比较两种刚度估计。采样变慢、曝光变长时，看看标定为什么会偏。

记录位置样本 $\text{—}$

方差刚度估计 $\text{—}$

衰减刚度估计 $\text{—}$

布朗运动测力标定

标定光阱

设好光阱和探测器，记录小球的热运动。

小球位于对置的两只物镜之间。

准备

设定光阱刚度

\kappa/(\mathrm{pN}/\mu\mathrm{m})

20

探测采样率

f_s/\mathrm{Hz}

10000

记录时长

t/\mathrm{s}

1

流体与探测标定

实际流体黏度

\eta/(\mathrm{mPa}\,\mathrm{s})

1

分析采用的黏度

\eta_{\rm fit}/(\mathrm{mPa}\,\mathrm{s})

1

小球半径

a/\mu\mathrm{m}

0.5

曝光占采样间隔比例

100t_e f_s/\%

10

采样种子

s_0

51

两项黏度设置可用来检验阻力假定出错的后果。

采集

可以开始第一次测量。

当前为下次采集的准备状态。

模型假定光阱已经稳定，横向恢复力近似弹簧力。只计算一个过阻尼布朗坐标，阻力采用远离壁面的 Stokes 模型，温度固定为已知的三百开尔文。探测器电压到距离的换算已知。热轨迹用精确转移推进，探测器对有限曝光取平均，谱和刚度都从这些存下来的样本计算。装置图不计算光学力，也不证明轴向稳定。不含惯性、壁面校正、流体记忆、加热、逃逸、黏弹性和分子连接。装置与小球都有示意放大。

已采集数据

从运动找到力的刻度

采集一份样本后，在这里查看测量和分析。

物理假定与来源

只计算已知固定温度下的一个简谐横向坐标，轴向俘获稳定性事先假定。采用远离壁面的球形 Stokes 阻力、热白噪声和已知距离标定。曝光沿物理轨迹取数值平均。功率谱与两种估计都用存下来的探测样本。不模拟分子力曲线，也不计算光学力场。液室和小球尺寸为示意，位移另按标出的倍数放大，不截断轨迹，也不设硬壁。

Jun et al. (2014) · calibration comparison
Sarshar et al. (2014) · displacement and spectral methods
Pérez-García et al. · finite detector exposure

先抓重点

核心问题: 小球的热运动怎样告诉我们光阱有多硬？
一句话直觉: 方差需要温度和距离刻度；弛豫速度还需要流体阻力。

核心数学模型

热运动的位移方差

\langle(x-\bar x)^2\rangle=\frac{k_{\rm B}T}{\kappa}

关系适用于平衡态的简谐坐标。有限曝光会平均掉一部分运动，让实测方差变小。

阻力与转折频率

\gamma=6\pi\eta a,\qquad f_c=\frac{\kappa}{2\pi\gamma}

假定小球为球形，远离壁面，流体为牛顿流体。频率按每秒周期数计。

单边位移谱

S_x(f)=\frac{k_{\rm B}T}{\pi^2\gamma(f^2+f_c^2)}

连续平衡参考谱积分后等于位移方差。图中曲线则由已存电压样本换算位移后，用 Welch 方法估计。

常见难点

谱好看，力的刻度仍可能错

容易误解谱线光滑，刚度就一定准确。

正确理解还要知道距离换算、流体阻力和探测带宽。曝光或采样不满足条件时，简单衰减法不会给出刚度数值。

动手实验

01
采一条带宽足够的轨迹
用“看清转折”，采集并分析。
你会看到： 方差和短延迟衰减，分别从同一组位置样本估计刚度。时长有限，两者会有随机差别。
02
降低探测带宽
采集“慢采样”和“长曝光”，比较轨迹与功率谱。
你会看到： 采样太慢，看不清弛豫；曝光太长，位置分布被平均得更窄，方差法给出的刚度会偏大。
03
故意用错黏度
采集“阻力假定错误”，比较两种刚度。
你会看到： 分析采用的黏度改变后，衰减法的刚度也变。方差法依赖已知温度，不依赖阻力假定。

光镊：用布朗运动标定刚度

从运动找到力的刻度

小球的位移

分析

光阱有多硬？

用热运动标定力