光镊：用布朗运动标定刚度

小球的热运动怎样告诉我们光阱有多硬？ 光阱越硬，小球的热运动幅度越小，偏离中心后回得也越快。温度已知时，位移方差能给出刚度；再知道流体阻力，就能用弛豫速度做第二次估计。

在液体中记录小球位置信号，计算位移谱，再比较两种刚度估计。采样变慢、曝光变长时，看看标定为什么会偏。

看小球在光阱里涨落

拖动小球重新定位光阱，再比较软阱和硬阱。

设定光阱刚度

\kappa/(\mathrm{pN}/\mu\mathrm{m})

12

探测采样率

f_s/\mathrm{Hz}

10000

曝光占采样间隔比例

100t_e f_s/\%

10

标定与高级设置

静态焦点位置

x_0/\mathrm{nm}

0

实际流体黏度

\eta/(\mathrm{mPa}\,\mathrm{s})

1

分析采用的黏度

\eta_{\rm fit}/(\mathrm{mPa}\,\mathrm{s})

1

小球半径

a/\mu\mathrm{m}

0.5

记录时长

t/\mathrm{s}

1

采样种子

s_0

51

拖动小球会重新定位光阱，每个位置都开始独立的平衡模拟。探测器测相对光轴的运动，不计算移动过程的瞬态。

模型假设

模型假定光阱已经稳定，横向恢复力近似弹簧力。只计算一个过阻尼布朗坐标，阻力采用远离壁面的 Stokes 模型，温度固定为已知的三百开尔文。探测器电压到距离的换算已知。热轨迹用精确转移推进，探测器对有限曝光取平均，谱和刚度都从这些存下来的样本计算。装置图不计算光学力，也不证明轴向稳定。不含惯性、壁面校正、流体记忆、加热、逃逸、黏弹性和分子连接。装置与小球都有示意放大。

从涨落找到力的刻度

模拟测量

调整参数或重置，开始一份新模拟。

物理假定与来源

只计算已知固定温度下的一个简谐横向坐标，轴向俘获稳定性事先假定。采用远离壁面的球形 Stokes 阻力、热白噪声和已知距离标定。曝光沿物理轨迹取数值平均。功率谱与两种估计都用存下来的探测样本。不模拟分子力曲线，也不计算光学力场。液室和小球尺寸为示意，位移和静态焦点平移在所有预设中采用同一场景比例，并标出相对球体的放大倍数，回放时间拉长一千倍。移动焦点会开始新平衡记录，不计算转向瞬态或光学力场；QPD 信号仍是相对光轴的位移。淡球轮廓显示慢放最近 2.5 秒内的已存样本，不另造轨迹。

Jun et al. (2014) · calibration comparison
Sarshar et al. (2014) · displacement and spectral methods
Pérez-García et al. · finite detector exposure

一句话直觉: 方差需要温度和距离刻度；弛豫速度还需要流体阻力。

核心数学模型

热运动的位移方差

\langle(x-\bar x)^2\rangle=\frac{k_{\rm B}T}{\kappa}

关系适用于平衡态的简谐坐标。有限曝光会平均掉一部分运动，让实测方差变小。

阻力与转折频率

\gamma=6\pi\eta a,\qquad f_c=\frac{\kappa}{2\pi\gamma}

假定小球为球形，远离壁面，流体为牛顿流体。频率按每秒周期数计。

单边位移谱

S_x(f)=\frac{k_{\rm B}T}{\pi^2\gamma(f^2+f_c^2)}

连续平衡参考谱积分后等于位移方差。图中曲线则由已存电压样本换算位移后，用 Welch 方法估计。

常见难点

谱好看，力的刻度仍可能错

容易误解谱线光滑，刚度就一定准确。

正确理解还要知道距离换算、流体阻力和探测带宽。曝光或采样不满足条件时，简单衰减法不会给出刚度数值。

动手实验

01
采一条带宽足够的轨迹
用“看清转折”，采集并分析。
你会看到： 方差和短延迟衰减，分别从同一组位置样本估计刚度。时长有限，两者会有随机差别。
02
降低探测带宽
采集“慢采样”和“长曝光”，比较轨迹与功率谱。
你会看到： 采样太慢，看不清弛豫；曝光太长，位置分布被平均得更窄，方差法给出的刚度会偏大。
03
故意用错黏度
采集“阻力假定错误”，比较两种刚度。
你会看到： 分析采用的黏度改变后，衰减法的刚度也变。方差法依赖已知温度，不依赖阻力假定。

光镊：用布朗运动标定刚度

从涨落找到力的刻度

相对光轴的位移

用这份样本标定

用热运动标定力

核心数学模型

热运动的位移方差

阻力与转折频率

单边位移谱

常见难点

谱好看，力的刻度仍可能错

动手实验

采一条带宽足够的轨迹

降低探测带宽

故意用错黏度

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