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Sandbox Physics

光学 023 · 一对透镜，一个矩阵

复合光学工作台

一个矩阵怎样说清两块透镜对激光束做了什么？ 按顺序把透镜 1、两镜间隔、透镜 2 的矩阵乘起来，这对透镜就合成一个由四个数组成的矩阵。左下角的数是这对透镜光焦度的相反数。两镜间隔等于两个焦距之和时，它为零：平行的激光束射出后仍然平行，宽度放大的倍数就是左上角那个数的大小，发散按同一倍数减小，所以远处墙上的光斑更小。

在 He-Ne 激光束里移动两块透镜，读它们合成的光线传输矩阵：左下角元素为零时，光束平行射出，变宽，发散变小。

交互模型复合光学工作台
这对透镜的矩阵，从透镜 1 到透镜 2，长度以米计—\text{—}
这对透镜的等效焦距—\text{—}
离开透镜 2 时的光束宽度—\text{—}
墙上光斑宽度—\text{—}
只有激光器时墙上光斑宽度—\text{—}
墙上峰值亮度，相对只有激光器时—\text{—}
后主平面到透镜 2（负：在它前面）—\text{—}
平行光的焦点到透镜 2—\text{—}
光束最细处到透镜 2—\text{—}
透镜 2 之后的全发散角—\text{—}

物理教程

从矩阵读出扩束器

背景激光束很细，但会散开：小型 He-Ne 激光器 0.8 mm 粗的光束，照到 10 m 外的墙上已经约 10 mm 宽。前后两块透镜组成的扩束器先把光束放宽，让它散得慢些。这对透镜做了什么，可以从一个由四个数组成的矩阵读出来，它是透镜 1、中间间隔、透镜 2 三个矩阵的乘积。

为什么值得理解测量用的激光指示器、激光测距仪、射进望远镜的激光束，都这样扩束。同样四个数，还能告诉你任何一组透镜的焦距、主平面在哪里，以及它能不能让平行光保持平行。

先抓重点

核心问题
一个矩阵怎样说清两块透镜对激光束做了什么？
一句话直觉
左下角的 CC 是这对透镜光焦度的相反数。两镜间隔等于两个焦距之和时，C=0C=0：平行光射出后仍平行，宽度变为 ∣A∣|A| 倍；按激光束的 ABCD 定律，发散角也减为 1/∣A∣1/|A|。墙足够远时，更宽的光束反而在墙上打出更小的光斑。

核心数学模型

光线传输矩阵

(y2θ2)=(ABCD)(y1θ1)\begin{pmatrix}y_{2}\\\theta_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1}\\\theta_{1}\end{pmatrix}

一条光线用它离轴的高度 yy 和斜率 θ\theta 表示。长 LL 的一段空间，A=D=1A=D=1，B=LB=L，C=0C=0；薄透镜 A=D=1A=D=1，B=0B=0，C=−1/fC=-1/f（Kogelnik 和 Li，1966，表 I）。几个部分串起来，矩阵就是它们的乘积，最后经过的放在最左边，行列式 AD−BCAD-BC 等于 1。Lab 里 BB 以米为单位，CC 以 m−1\mathrm{m^{-1}} 为单位，这样 CC 和透镜滑块一样按屈光度读。

这对透镜的光焦度

C=−1f1−1f2+df1f2C=-\frac{1}{f_{1}}-\frac{1}{f_{2}}+\frac{d}{f_{1}f_{2}}

透镜 1、间隔 dd、透镜 2 三个矩阵相乘，得到这一项，即 Kogelnik 和 Li 表 I 第 4 项在透镜 1 前面不留距离的情形。这对透镜相当于一块焦距 f=−1/Cf=-1/C 的透镜，焦距从后主平面量起；后主平面在透镜 2 往回 (A−1)/C(A-1)/C 处，不一定在两块透镜之间。20 D 和 −40 D 两块透镜相距 30 mm 时，f=250 mmf=250\,\mathrm{mm}，后主平面在透镜 2 前 150 mm。

两个焦点重合

d=f1+f2:A=−f2f1, D=−f1f2d=f_{1}+f_{2}:\quad A=-\frac{f_{2}}{f_{1}},\ D=-\frac{f_{1}}{f_{2}}

间隔等于两个焦距之和时，CC 为零，这对透镜无焦。AA 是光线高度的变化倍数：先 25 mm 后 100 mm 时是 −4，负号表示光束上下颠倒；先 −25 mm 后 100 mm 时是 +4。Edmund Optics 给开普勒式和伽利略式扩束器的放大率 −f2/f1-f_{2}/f_{1} 和镜间距与此一致。

激光束的 ABCD 定律

q2=A q1+BC q1+Dq_{2}=\frac{A\,q_{1}+B}{C\,q_{1}+D}

高斯光束用一个复数 qq 描述：实部说明光束离束腰多远，虚部在束腰处等于 πw02/λ\pi w_{0}^{2}/\lambda，说明束腰多细（Kogelnik 和 Li，式 16 至 18 和式 43）。经过无焦透镜对，q2=A2q1+ABq_{2}=A^{2}q_{1}+AB：束腰变为 ∣A∣|A| 倍；全发散角是 2λ/(πw0)2\lambda/(\pi w_{0})，于是按同一倍数减小。

常见难点

光束越宽，散得越慢

容易误解把激光束放宽，光斑在哪里都会变大。

正确理解只在近处如此。离激光器 1 m 处，扩束后的光束 3.27 mm，裸光束只有 1.29 mm；但前者的发散只有后者的四分之一，到 10 m 处就成了 4.34 mm 对 10.1 mm。光束散得多快，由它最细处的宽度决定，束腰越宽，散得越慢。

平行射出，远处光斑未必最小

容易误解要在远处墙上得到最小光斑，光束必须严格平行射出。

正确理解平行光在无穷远处散得最少。墙在有限距离时，把放宽的光束聚焦到墙上，光斑更小：10 m 处，透镜 2 再往外放 1.2 mm，光斑从 4.34 mm 变成 2.40 mm。

无焦透镜对没有焦距

容易误解扩束器就是一块焦距很短或很长的透镜。

正确理解它的 CC 为零，f=−1/Cf=-1/C 不存在，也没有主平面。它改变平行光束的宽度和发散，却不把光会聚到焦点；Lab 把它的焦距显示为无穷大。

焦距不从透镜量起

容易误解两块透镜的焦距，就是最后一块透镜到焦点的距离。

正确理解那段距离是后焦距，等于 −A/C-A/C。焦距 −1/C-1/C 从后主平面量起；远摄组合的后主平面在透镜 1 前 120 mm，两块透镜都不在那里：后焦距 100 mm，焦距 250 mm。

动手实验

  1. 01

    读矩阵

    保持默认预设“开普勒扩束”，读矩阵和墙上光斑。

    你会看到： A=−4A=-4，C=0C=0：光束在两镜之间先经过一个焦点，再以 3.24 mm 的宽度平行射出，上下颠倒。墙上光斑 4.34 mm，只有激光器时是 10.1 mm；数据行里灰色虚线是不加透镜的光束，看得出它在半路追上并超过了扩束后的光束。
  2. 02

    拖动透镜 2

    沿导轨把透镜 2 前后各拖几毫米。

    你会看到： 过程行里这对透镜的光焦度在 125 mm 处穿过零。墙上光斑最小的位置在 126.2 mm，2.40 mm：这时光束射出时略微会聚，在墙附近收到最细。
  3. 03

    把透镜 2 放偏 5 mm

    载入“透镜 2 偏了 5 mm：远处光斑变大”。

    你会看到： CC 变成 2 m−12\,\mathrm{m^{-1}}，相当于一块 −500 mm 的透镜。光束在透镜 2 后 2.1 m 处收到最细，然后比裸激光散得还快，墙上光斑涨到 12.2 mm。
  4. 04

    先放发散透镜

    载入“伽利略扩束：中间没有焦点”。

    你会看到： 透镜 1 的焦距是 −25 mm，两镜相距 75 mm，A=+4A=+4：宽度放大同样的倍数，光束不颠倒，导轨更短。光像是从透镜 1 前 25 mm 处的一点散开的，墙上光斑 4.48 mm。
  5. 05

    把扩束器倒过来

    载入“反过来：光束变细，散得更快”。

    你会看到： 100 mm 的透镜在前，A=−0.25A=-0.25。光束射出时只有 0.219 mm 宽，全发散角 4.03 mrad，墙上光斑 39.1 mm。
  6. 06

    中继光束

    载入“中继：宽度不变，上下颠倒”。

    你会看到： 两块 100 mm 透镜相距 200 mm，A=D=−1A=D=-1。光束宽度仍是 0.80 mm，上下颠倒；束腰被往前搬了 400 mm，所以墙上光斑 9.70 mm，比只有激光器时略小。
  7. 07

    做一个远摄镜头

    载入“远摄：短镜身，长焦距”。

    你会看到： 50 mm 的透镜后面 30 mm 处放一块 −25 mm 的透镜，合起来相当于一块 250 mm 的透镜。它的后主平面在透镜 1 前 120 mm，所以平行光在透镜 1 后 130 mm 处就会聚，只有焦距的一半略多。

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