同样抖得厉害，怎样看出主动驱动

一次推动会维持多久

用长度 $x$ 描述一个实模，弹性刚度为 $K$ ，摩擦系数为 $\zeta$ 。弹性拉回的速度由 $\lambda=K/\zeta$ 决定。热噪声来自已知温度的浴，另加一个均值为零、有记忆时间 $\tau_a$ 的主动力。

主动力可用 Ornstein–Uhlenbeck 过程生成：它向零松弛，同时接受随机推动。它的力方差 $F_a^2$ 与记忆时间由驱动模型或独立测量给定。

\zeta\dot x=-Kx+f_a+F_{\rm ext}+\xi_T,\qquad \langle\xi_T(t)\xi_T(0)\rangle=2\zeta k_BT\,\delta(t)

所有右侧项都具有力的单位。白噪声相关使用 Dirac delta，表示在所述时间尺度上没有有限记忆。

\langle f_a(t)f_a(0)\rangle=F_a^2e^{-|t|/\tau_a}

这里的主动力与热噪声独立。膜实验中的主动过程可能还有空间关联、反馈和非高斯性，这个切片只研究有限记忆这一项。

在稳态，对 $x^2$ 和 $xf_a$ 的平均演化求零，可得总方差。热部分仍是 $k_BT/K$ ；主动力多出的部分取决于它的强度和记忆时间。保持力方差不变，太快的推动会在膜响应前抵消得更多。

再定义一个纯平衡比较：保持同样 $K,\zeta$ ，只把热浴温度提高到 $T_{\rm eff}=K\langle x^2\rangle/k_B$ 。这会让平衡记录与主动记录具有完全相同的理论方差。有效温度在这里是匹配一个观测量的定义。它还没有解释时间相关。

\langle x^2\rangle=\frac{k_BT}{K}+\frac{F_a^2}{K(K+\zeta/\tau_a)}

这个稳态结果来自明确的线性动力学。它并不要求给主动噪声施加平衡关系。

在零时刻施加一个很小、随后保持的外力 $F$ 。平均位移变化除以力叫阶跃响应 $\chi(t)$ 。线性模型里，噪声均值为零，确定性平均运动满足相同的弹性与摩擦方程；响应因此不随所加主动力方差变化。

热平衡时，相关函数与这个响应有精确关系。这里必须先独立计算或测量响应，再拿它与相关比较。若先把主动相关代入平衡公式生成一条“响应”，检验就失去了意义。

\chi(t)=\frac{\Delta\langle x(t)\rangle}{F}=\frac{1-e^{-\lambda t}}{K}

这是从有外力的平均动力学求得的响应；力足够小以保持线性近似。

\chi_{\rm eq}(t)=\frac{C(0)-C(t)}{k_BT},\qquad C(t)=\langle x(t)x(0)\rangle

这一写法用于热平衡的稳态、与外力共轭的坐标，以及这里定义的阶跃响应。主动模型需要与独立响应逐时比较。

选择一套无量纲单位，令 $K=\zeta=k_BT=1$ ，主动记忆时间 $\tau_a=2$ ，力方差 $F_a^2=1.5$ 。热方差是一，主动额外方差也是一，故总方差为二。纯平衡比较取 $k_BT_{\rm eff}=2$ ，也得到方差二。

解两变量线性相关方程可得这组参数下 $C_{\rm active}(t)=2e^{-t/2}$ ，较热平衡记录则为 $C_{\rm hot}(t)=2e^{-t}$ 。在 $t=1$ ，两者分别为 $1.21$ 和 $0.736$ 。同样的抖动大小藏着不同的记忆。

两者的独立阶跃响应却都是 $1-e^{-1}\simeq0.632$ 。若把主动记录当成温度二的平衡运动，相关预测的响应只有 $(2-1.21)/2\simeq0.393$ 。一个从方差定出的常数温度无法同时解释这里的相关与响应。

第八章例题具有相同方差、不同记忆。两条线是无量纲解析模型相关，响应由独立的受力方程计算。

Sciortino 等人的合成细胞实验把微管和分子马达放进囊泡，研究微管活动怎样带着膜形变传播。阅读时应同时看空间尺度、时间相关和内部驱动的图像；大振幅本身没有给出独一无二的机制。

实验台的轮廓叠加多个线性球谐模，相关与响应比较选取一个实模作诊断，没有求解微管网络或自洽的膜面积—张力反馈。Loubet 等人的固定过剩面积理论还要联立面积条件求张力；复算那条理论分支时，改变驱动后还要重新求出满足面积条件的张力。