一层柔软的膜为什么能撑出形状

放掉一些水，膜就有了余地

想象一个装满水的小袋。水几乎不可压缩，袋子的材料又不容易拉伸；把袋子封好后，体积和表面积都近乎固定。脂质囊泡也有这两项限制，不过它的表面是一层可以侧向流动的双层膜，厚度远小于囊泡半径。

在给定面积下，球包住的体积最大。若体积恰好达到这个上限，闭合且不自交的表面只能是球。放掉一些水，原有膜面积就显得宽裕：囊泡可以拉长、压扁，或出现凹陷。还要比较弯曲所需的能量，才能判断它偏爱哪种形状。

R_A=\sqrt{\frac{A}{4\pi}},\qquad v=\frac{V}{(4\pi/3)R_A^3}=\frac{6\sqrt\pi V}{A^{3/2}}

面积半径

R_A

是与囊泡面积相同的球的半径；约化体积

v

是实际体积与这个球体积的比值。面积的单位是长度平方，体积的单位是长度立方，比值没有单位。

站在膜上一个点，沿两个互相垂直的特殊方向切开表面，能找到弯得最多和最少的两条截线。它们的有符号弯曲程度叫主曲率。圆的曲率是半径的倒数：半径越小，转弯越急。表面多出第二个方向，因而不能只用一个圆来描述。

我们选外法向，并约定球面两个主曲率都为正。半径为 $R$ 的球有 $c_1=c_2=1/R$ ；圆柱沿管轴不弯，只有绕管一周的方向有曲率。马鞍面在一个方向向外弯，在另一个方向向内弯，两者符号相反。

平均曲率描述两个方向平均弯了多少，高斯曲率描述两者的乘积。后面写弯曲能时会用到前者；讨论固定拓扑时会用到后者。拓扑在这里指有没有孔洞、是否还是同一个闭合表面。

2H=c_1+c_2,\qquad K=c_1c_2

平均曲率和主曲率的单位是长度倒数，高斯曲率的单位是长度平方的倒数。不同论文可能反选曲率符号，比较自发曲率前必须一起转换。

球面沿两个方向弯，圆柱只沿一个方向弯，马鞍面的两个方向弯向相反。原创几何示意，无实测数据。

取面积半径 $R_A=10\,\mu\mathrm m$ 。先把给定面积换成 $A=400\pi\,\mu\mathrm m^2$ ，它能包住的最大体积是 $4000\pi/3\,\mu\mathrm m^3$ ，约为 $4.19\times10^3\,\mu\mathrm m^3$ 。

若实际水量为 $3.35\times10^3\,\mu\mathrm m^3$ ，除以上限得到 $v\simeq0.800$ 。这说明膜有变成非球形的几何余地。仅凭这个数字还不能选出长形或扁形，因为两种形状可能同时满足同样面积和体积。

若再把囊泡整体放大一倍，面积变为四倍，体积变为八倍，约化体积保持不变。它把大小和形状分开了；这会让下一章的能量比较简单许多。

在允许水透过、溶质难以透过的膜两侧，溶质浓度不同会推动水流。稀溶液的渗透压可用理想粒子模型估计。封闭囊泡的水量则要在外界溶液、内部溶质数和膜的机械压力之间达到平衡。温度、浓度和渗透性都要写进具体实验条件。

若先忽略弯曲力且球面张力均匀，向外的压差 $\Delta p=p_{\rm in}-p_{\rm out}$ 与张力 $\sigma$ 满足 Laplace 关系。这个球面关系适合检查量纲和符号；任意非球形膜还要计算局部弯曲力。

\Pi\simeq k_BT n,\qquad \Delta p=\frac{2\sigma}{R}

粒子数密度

n

以每单位体积计，

k_BT

是热能；张力以力除以长度计，压强以力除以面积计。第一式用于稀理想溶液，第二式用于所述球面力学极限。