看不清台阶时，还能知道马达走了多少吗

珠子不是无延迟的指针

把马达位置记为 $x_m$，珠子位置为 $x_b$，珠子与马达之间的有效连接刚度为 $k_b$。在给定负载下，珠子围绕马达位置减去静态负载偏移的位置晃动。马达前进一步后，珠子的平均位置以 $\tau_b=\gamma/k_b$ 的时间尺度跟上。

本实验给马达施加理想指定负载，珠子是有热噪声的线性跟随器。珠子的瞬时涨落不再反过来改变跳变速率；要研究真实反馈环与随机瞬时张力耦合，需要同时演化负载和反应网络。

对应阅读：Lang et al. · U. Seifert

两个响应过程会把台阶拖成斜坡

先用连续时间的理想参照看这个过程：珠子和探测器各有一个跟随时间 $\tau_b$、$\tau_d$。对正弦变化，响应幅度除以输入幅度得到增益。频率越高，两段响应的增益越小，总增益就是两者相乘。这里角频率 $\omega=2\pi f$，其中 $f$ 以赫兹计。

若平均停留时间只有 $10\;\mathrm{ms}$，探测时间却是 $20\;\mathrm{ms}$，上一阶还未完成，下一阶已经到来。加快画面播放补不回这些高频信息；提高探测带宽也可能同时放进更多热噪声。

马达实验台采用另一条明确的观测流程：先求珠子的连续热运动，再每 $2\;\mathrm{ms}$ 采样，最后做数字单极点滤波。下面第二式给出数字探测器的真实响应。$\Omega=2\pi f\Delta t$ 是每个采样间隔内的相位变化，$f_d$ 是数字响应的半功率频率。采样前没有另加模拟抗混叠滤波器。

对应阅读：Lang et al.

平均速度与单步大小是两个问题

记录足够长时，可以对位置随时间做直线拟合，估计平均速度。滤波主要改变快速起伏，在起始和协议切换附近还会造成暂态延迟。拟合时要报告所用时间区间，避开或显式处理这些暂态。

假设一段 $2.00\;\mathrm{s}$ 的轨迹净前进 $160\;\mathrm{nm}$，端点法速度为 $80.0\;\mathrm{nm\,s^{-1}}$。这个数可以来自每秒十个八纳米净步，也可以来自每秒二十个四纳米净步。单凭平均速度无法区分两种解释。

要估计步长，需要分得开的事件、可靠的噪声模型和采样率。基于位移阈值计数，可能把相邻步合成大步，也可能把热噪声误拆成小步。实验台的真值步长用于核验合成过程；它不等于从滤波记录独立测出的步长。

对应阅读：K. Svoboda & S. M. Block · Lang et al.

等待时间有时能透露中间态

暂时考虑反向速率很小、每循环有两段依次等待的极限。每段等待都服从指数分布，速率为 $a$、$b$；完整停留时间是两段之和。它的方差通常小于同均值单指数的方差。

把方差除以均值平方，得到等待时间的变异系数平方。当两段一样慢时，它等于二分之一；其中一段远慢于另一段时，则接近一。测到接近一，还需要检查另一段等待是否太快，已经藏在仪器带宽之外。

对应阅读：U. Seifert

把不确定度留在结果里

一条记录中的热噪声、有限步数和随机等待，都影响速度估计。把独立种子的多条记录分开计算，能看到有限记录散布。共同的位移标尺错误、未建模的滤波响应与漏检机制，则属于另一类误差。

导出记录时保留负载协议、种子、采样间隔、珠子与探测器参数，并分别保存事件真值和探测样本。这样别人可以改变拟合窗口或识别方法，检查结论是否仍然成立。下一章会进一步要求同一组参数预测新的负载协议。

对应阅读：Lang et al. · U. Seifert