ATP 怎样让随机跃迁有了方向

每一步里还有看不见的等待

把第 $n$ 个位置上的状态记作 $A_n$ 和 $B_n$。化学边连接同一位置的两个状态，前向速率为 $u_0$，反向为 $w_0$。机械边把 $B_n$ 接到下一位置的 $A_{n+1}$，速率分别为 $u_1$ 和 $w_1$。机械跳变前后位置差为 $d$。

两态是粗粒化的化学机械构象，不逐一对应真实马达的每一种核苷酸结合结构。珠子只报告位移，可能看不见同一位置上已经发生的化学转变。

对应阅读：U. Seifert · K. Svoboda & S. M. Block

一个循环的正反比有热力学限制

把逆向负载 $F$ 定为正。前进一步要对负载做功 $Fd$；一次前向循环释放化学自由能 $\Delta\mu$。把每条边的前后速率比相乘，中间态自由能相消，留下整圈的化学收益减机械代价。

下面的无量纲量 $\mathcal A$ 叫循环亲和力。它为正时，前向循环更有利；为零时，循环没有方向偏好。局部详细平衡固定的是速率之比，仍需要动力学信息才能知道走得多快。

对应阅读：U. Seifert

教学网络里，ATP 改变哪一个速率

令 $c$ 为 ATP 浓度除以一微摩尔每升后的数值。示例采用下列速率，单位均为每秒。化学前向速率随浓度增加；机械前向跃迁被逆向负载压慢，反向跃迁被加快。力用皮牛，距离用纳米。取 $d=8\;\mathrm{nm}$ 和 $k_BT=4.114\;\mathrm{pN\,nm}$，得到一套可计算的教学参数。

这组速率对应的有效化学驱动力为 $\Delta\mu=k_BT\ln(c/0.01)$。平衡参考浓度 $0.01\;\mathrm{\mu M}$ 吸收了固定的 ADP、无机磷酸与标准化学势；它不是通用的细胞内平衡常数。真实实验需要同时报告反应产物、温度和溶液条件。

对应阅读：U. Seifert

从状态占据推到速度

稳态时，流进每种状态的概率等于流出的概率。离开 $A$ 的总速率为 $u_0+w_1$，离开 $B$ 的总速率为 $w_0+u_1$。把两股概率流设为相等，再用概率和为一，便能解出占据率。机械边的前向流是 $p_Bu_1$，反向流是 $p_Aw_1$，相减后乘步长，就是平均速度。

例如 ATP 为 $100\;\mathrm{\mu M}$、负载为 $1.50\;\mathrm{pN}$ 时，四个速率约为每秒 $300$、$3.00$、$14.0$ 和 $2.58$。大部分时间停在 $B$ 态，净流约每秒 $13.1$ 圈，平均速度约 $105\;\mathrm{nm\,s^{-1}}$。单条四秒记录会围绕这个长期均值起伏。

继续增大负载，净流降到零，分子仍会随机跃迁。同样 ATP 浓度下，化学亲和力为 $\ln10000$，停滞负载约 $4.74\;\mathrm{pN}$。真实 kinesin 的数据还包含这张最小网络省略的反应通道。

对应阅读：U. Seifert · K. Svoboda & S. M. Block

停滞时，效率与功率要分开

在前向运行且化学驱动力为正时，每个净循环的机械输出为 $Fd$，化学输入为 $\Delta\mu$，比值给出紧耦合效率。靠近停滞时比值趋近一，但净循环流也趋近零，输出功率随之消失。

有限时间轨迹仍然会有前后步。比较多次记录或较长时间平均，才会看见接近零的净速度。检验热平衡时，需要同时取消负载，并把 ATP 浓度降到参考值。

对应阅读：U. Seifert

一条默认轨迹能比长期均值走得更快

默认合成记录采用 $100\;\mathrm{\mu M}$ ATP、$1.50\;\mathrm{pN}$ 负载与 $60\;\mathrm{Hz}$ 数字探测截止频率。种子 $4919$ 生成四秒、$2001$ 个采样点的记录。表中的位移与步数属于隐藏模型真值；拟合速度只用探测位置，并舍去开头 $0.10\;\mathrm{s}$。

这条轨迹恰好比长期均值走得快。分子等待时间是随机的，四秒内的步数也会变；不同种子的速度估计会有散布。理论稳态速度适合与多条独立记录的平均比较。

对应阅读：Sandbox Physics