移动光阱，DNA 究竟伸长多少

同一张受力图给出两个读数

固定连接点在原点，分子伸长为 $z$ ；光阱中心的有效端距为 $D$ 。正张力向左拉珠子，光阱向右拉。珠子离光阱中心的距离是 $D-z$ ，平衡要求光阱力等于蠕虫链张力。

给定光阱中心、刚度与链参数，平衡式只剩一个未知量。链张力随伸长增大，光阱力随伸长减小，两条曲线的交点便是工作点。场景的珠位、链长和张力都从这个交点得到。

k_{\rm trap}(D-z)=F_{\rm DNA}(z),\qquad z=D-\frac{F}{k_{\rm trap}}

这些距离使用扣除珠半径后的几何约定。真实装置还要量出表面高度、连接点与拉伸方向；这里只保留一维共线运动。

对应阅读：Wang et al.

拉动端点时，两只弹簧串联

在一个工作点附近，把张力增加一点。分子多伸长这点力除以分子局部刚度 $k_{\rm DNA}$ ；珠子离光阱中心的距离增加这点力除以光阱刚度。两段距离相加，才是端点移动。

因此总装置的柔顺性是两项倒数之和。较软的一项承担更多位移。若用端点速度 $v$ 拉伸，在局部准静态近似下，加载率是有效刚度乘速度；链逐渐增硬时，加载率也会变。

\frac1{k_{\rm series}}=\frac1{k_{\rm trap}}+\frac1{k_{\rm DNA}},\qquad r=\frac{dF}{dt}\simeq k_{\rm series}v

这里只在一个工作点附近线性化。大幅拉伸时要重新求解非线性平衡；不能把一个刚度用于整条曲线。

对应阅读：Wang et al. · M. Ribezzi-Crivellari & F. Ritort

珠子自己晃动时，恢复力相加

现在把光阱中心和固定端都锁住，只让珠子向右晃一点。DNA 被拉长，向左的拉力增加；光阱向右的力减小，也给出向左的增量。两股恢复力一起阻止偏离，于是涨落看到的是刚度之和。

串联实验移动了外端点；热涨落实验固定了两个外端点。边界条件不同，出现不同刚度就很自然。把涨落中的总刚度误当作光阱刚度，会把后续张力估高。

\left\langle\delta z^2\right\rangle=\frac{k_BT}{k_{\rm trap}+k_{\rm DNA}},\qquad \tau=\frac{\gamma}{k_{\rm trap}+k_{\rm DNA}}

采用平衡附近的小涨落和常拖曳近似。强非线性、连接点旋转与表面水动力学需要更完整模型。

对应阅读：M. Ribezzi-Crivellari & F. Ritort

算例与一份误差预算

取 $k_{\rm trap}=0.050\;\mathrm{pN\,nm^{-1}}$ 、 $k_{\rm DNA}=0.010\;\mathrm{pN\,nm^{-1}}$ 。串联刚度约为 $0.00833\;\mathrm{pN\,nm^{-1}}$ ，涨落总刚度却是 $0.0600\;\mathrm{pN\,nm^{-1}}$ 。用 $100\;\mathrm{nm\,s^{-1}}$ 的端点速度拉动，局部加载率约为 $0.833\;\mathrm{pN\,s^{-1}}$ 。

若张力为 $1.00\;\mathrm{pN}$ ，光阱位移为 $20.0\;\mathrm{nm}$ 。刚度有百分之十的整体误差，就给张力约百分之十的误差；珠位零点若错 $2.0\;\mathrm{nm}$ ，又会增加 $0.100\;\mathrm{pN}$ 的偏差。分子轮廓长度与持续长度的不确定性影响模型参考曲线，不能当作每次采样的独立噪声平均掉。

对应阅读：Wang et al.

滤波改变了你能看见的涨落

探测器若用一阶低通响应，变化越快，振幅越小。把热涨落谱乘以探测器频率响应的平方，再对频率积分，才能得到记录应有的方差。单珠线性模型给出下面的方差缩减因子， $f_c$ 为珠子弛豫的拐角频率， $f_d$ 为探测器截止频率。

实验台保存真实珠位与滤波记录。改变带宽后，对保存的同一组记录重新计算方差，便能分辨模型真值、探测结果和误差校正。

|H(f)|^2=\frac1{1+(f/f_d)^2},\qquad \frac{\operatorname{Var}(z_{\rm det})}{\operatorname{Var}(z)}=\frac{f_d}{f_c+f_d}

右式是连续时间 Ornstein–Uhlenbeck 过程经过一阶低通后的解析平衡结果。实际有限采样还会引入混叠与有限记录误差。

归一化功率频率相对于珠子拐角频率

珠子
滤波探测记录

线性模型解析参考。青色是珠子涨落谱，金色再乘截止频率为珠子拐角频率两倍的探测响应。探测器抹去了高频功率。

对应阅读：Lang et al. · M. Ribezzi-Crivellari & F. Ritort

默认记录里，两个张力为何略有不同

下面是一份固定的合成默认记录。光阱端距为 $840\;\mathrm{nm}$ ，刚度为 $0.025\;\mathrm{pN\,nm^{-1}}$ ；DNA 轮廓长度 $1000\;\mathrm{nm}$ 、持续长度 $50\;\mathrm{nm}$ 。标定倍数为一，带宽 $1000\;\mathrm{Hz}$ ，随机种子 $1937$ 。共保存 $8192$ 个采样，间隔 $0.025\;\mathrm{ms}$ 。

“模型参照”来自同一平衡及其线性涨落；“保存记录”一列则直接对这次探测采样求平均或方差。两列接近又不完全相同，反映有限且相关的随机采样。换种子时，右列会变；延长记录也不能消掉整体标定误差。

DNA 拉伸实验的合成默认结果；模型参照与探测记录分别列出。
量	模型参照	保存记录
张力 $(\mathrm{pN})$	$0.64284$	$0.64885$
伸长 $(\mathrm{nm})$	$814.286$	$814.046$
滤波后伸长方差 $(\mathrm{nm^2})$	$85.2347$	$83.6603$

对应阅读：Sandbox Physics

移动光阱，DNA 究竟伸长多少

同一张受力图给出两个读数

拉动端点时，两只弹簧串联

珠子自己晃动时，恢复力相加

算例与一份误差预算

滤波改变了你能看见的涨落

默认记录里，两个张力为何略有不同

动手检验预测

区分串联位移与热涨落

练习与解释性答案

来源与计算范围