FR19-A · 分子也会拉住珠子

拉伸一根 DNA

拉开光阱时，多少距离拉长了 DNA，多少距离挪动了珠子？ 拉开的距离由两部分分摊：DNA 伸长，珠子偏离光阱中心。光阱越软，珠子偏离得越多，相同装置距离下分子受到的张力就越小。

把光阱拖离固定端，看 DNA 逐渐拉直、珠子落在焦点后方。再把真实光阱力与探测器滤波后的模拟记录放在一起比较。

平衡平均张力 $0.643\,\mathrm{pN}$

记录估计的张力 $0.649\,\mathrm{pN}$

DNA 伸长 $814\,\mathrm{nm}$

串联刚度 $0.00516\,\mathrm{pN}/\mathrm{nm}$

让珠子与分子相互拉扯

光阱与固定端距离

D/\mathrm{nm}

840

光阱刚度

k_{\rm t}/(\mathrm{pN}/\mathrm{nm})

0.025

持续长度

L_{\rm p}/\mathrm{nm}

50

探测器带宽

f_{\rm d}/\mathrm{Hz}

1000

拖动亮色光阱环拉动珠子。珠子偏离环心的距离，用来测量光阱力。

标定与随机记录

距离标定倍数

g

1

记录种子

s

1937

标定倍数缩放记录中珠子偏离焦点的距离。它会改变估计的力与伸长，实际珠子和分子保持相同。

几何、单位与近似

DNA 连着固定端和珠子左表面。装置距离量到焦点后扣除珠径。珠径与距离使用不同绘图比例，热位移显示倍数按整段记录调整，画面会标出实际倍数。

$L=1000\,\mathrm{nm},\quad T=298\,\mathrm K,\quad a=500\,\mathrm{nm}$

水的黏度取一毫帕秒。Stokes 阻力假设球形珠子远离壁面。固定轮廓长度和持续长度描述不可伸长、无扭转的链；不含高分子内部模、壁面流体修正、盐效应和过度拉伸。

珠子在非线性平均平衡点附近按局部谐近似涨落。链形只示意伸长程度，不是抽样得到的分子构象。播放把整段记录放慢到十二秒。

画面获得焦点后，可按左右方向键移动光阱。

模型假设

不可伸长蠕虫链的 Marko–Siggia 插值式决定平均张力，一维局部谐近似生成珠子的热运动，探测器采用一阶低通响应。链形为示意，珠径与热运动均有放大。不计 DNA 内部弛豫、壁面、盐浓度变化、扭转、本征拉伸及过度拉伸。所有记录均为合成数据。

合成探测记录

装置也分走一部分拉伸

涨落、带宽与不确定度

\sigma_{\rm record}=10\,\mathrm{nm}

记录方差由保存的已标定探测采样计算。参考方差相当于把珠子频谱通过一阶低通探测器后积分。有限记录有抽样涨落，参考值是系综期望。

$\sigma_{\rm det}^2=\frac{k_{\rm B}T}{k_{\rm t}+k_{\rm m}}\frac{2\pi f_{\rm d}}{2\pi f_{\rm d}+1/\tau},\qquad \tau=\frac{\gamma}{k_{\rm t}+k_{\rm m}}$

公式使用秒和赫兹，导出时间使用毫秒。种子确定随机涨落，标定倍数引入系统尺度误差。温度、阻力和距离零点视为已知；不计仪器漂移或独立电子噪声。

保存文件包含物理参数、种子、模型版本、原始模型位置、滤波位置、记录力，以及这里显示的估计值。

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先抓重点

核心问题: 为什么换成软光阱，同一根 DNA 看起来也更软？
一句话直觉: DNA 的伸长与珠子偏离焦点的距离加起来，才是装置两端的距离；分子与光阱相当于串联弹簧。

核心数学模型

沿链方向的力平衡

F_{\rm WLC}(x)=k_{\rm t}(D-x)

固定端取零，向右拉为正。伸长量量到珠子接头；焦点坐标已扣除相同珠径。力用皮牛顿，距离用纳米。

蠕虫链的拉伸插值式

F_{\rm WLC}(x)=\frac{k_{\rm B}T}{L_{\rm p}}\left[\frac{1}{4(1-x/L)^2}-\frac14+\frac{x}{L}\right]

轮廓长度是沿链量得的总长；持续长度描述链的方向能保持多远。开始拉时主要舒展弯曲，接近轮廓长度后，剩下的弯曲越来越难拉直。

两种刚度对应不同问题

k_{\rm series}=\frac{k_{\rm t}k_{\rm m}}{k_{\rm t}+k_{\rm m}},\qquad \langle\delta x^2\rangle=\frac{k_{\rm B}T}{k_{\rm t}+k_{\rm m}},\quad k_{\rm m}=\frac{\mathrm dF_{\rm WLC}}{\mathrm dx}

缓慢移动焦点时，测到的是串联刚度。焦点固定后，珠子离开平衡位置会同时受到两边的恢复力，局部热涨落由刚度之和决定。涨落公式采用局部谐近似。

常见难点

珠子看起来更安静，也可能是探测器更慢

容易误解探测曲线更平滑，就证明 DNA 变硬了。

正确理解先比较带宽和珠子弛豫时间。探测器会在保存采样前滤掉高频运动，物理刚度可以完全没变。

动手实验

01
看位移怎样分摊
把亮色光阱环向右拖，再比较“链被拉开”和“软阱让了步”。
你会看到： 珠子不会完全跟上焦点。光阱越软，越多位移用在珠子偏离焦点上；相同装置距离下，DNA 张力更小。
02
找到越来越陡的一段
选“越拉越难”，先缩短距离，再慢慢拉开，观察下方参考曲线。
你会看到： 伸长逐渐接近固定的轮廓长度。再增加同样一点伸长，需要的力越来越大。
03
让探测器变慢
比较“链被拉开”和“运动被滤掉”。保持物理参数不变，只调探测器带宽。
你会看到： 探测记录中的快速涨落被抹平，底层珠子记录和平衡力保持相同。若直接拿变小的方差估计刚度，又忽略滤波，算出的总恢复刚度就会偏大。

拉伸一根 DNA

装置也分走一部分拉伸

珠子和分子怎样分摊位移

核心数学模型

沿链方向的力平衡

蠕虫链的拉伸插值式

两种刚度对应不同问题

常见难点

珠子看起来更安静，也可能是探测器更慢

动手实验

看位移怎样分摊

找到越来越陡的一段

让探测器变慢

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