DNA 为什么越拉越难伸长

链的长度有两种量法

沿着 DNA 骨架走过的总长叫轮廓长度，记为 $L$ 。固定端与另一端在拉伸轴上的距离叫伸长，记为 $z$ 。一条长链可以弯成很多样子，因此伸长远小于轮廓长度时，仍然有很长的骨架藏在弯曲里。

持续长度 $L_p$ 描述链的切向方向经过多长距离才明显失去相关性。它越大，链越难弯。这里把 DNA 当作连续、细长、不可伸长的链，采用三维热平衡模型；场景中画出的曲线只示意弯曲，并不逐段求解 DNA 构象。

拉直会减少热运动的选择

没有外力时，弯曲有很多方向可选。要求两端分得更开，能满足条件的构象就变少。维持这个较少见的状态需要外力，回复趋势称为熵弹性。它依赖温度，也依赖链有多容易弯曲。

用相对伸长 $q=z/L$ 描述链拉直的程度。下面的 Marko–Siggia 插值把小伸长的线性关系和接近拉直时的强烈增硬连接起来。它便于计算，精度也有边界，不能当作所有拉力下的精确解。

F(z)=\frac{k_BT}{L_p}\left[\frac{1}{4(1-z/L)^2}-\frac14+\frac zL\right],\qquad 0\le z<L

张力沿链端到端方向；这里所有长度都用纳米，热能用皮牛纳米，结果便是皮牛。插值在低伸长附近并不等于完整蠕虫链的精确数值解。

张力（皮牛）伸长（纳米）

解析插值参考：轮廓长度一千纳米、持续长度五十纳米、热能四点一一皮牛纳米。曲线越来越陡，表示分子局部刚度增大。

对应阅读：Marko & Siggia

两端的极限能帮我们查错

伸长很小时，把分母在零附近展开。常数项相消，领先项与伸长成正比，弹性系数为 $3k_BT/(2L_pL)$ 。轮廓长度加倍，同样张力下的绝对伸长也加倍。

接近轮廓长度时，分母中的剩余长度很小，第一项占主导。解出还没拉直的比例，它随张力平方根的倒数下降。插值里张力发散，是不可伸长假设的结果；真实 DNA 在更高力下还会拉伸骨架，甚至改变结构。

F\simeq\frac{3k_BT}{2L_pL}z\quad(z/L\ll1),\qquad 1-\frac zL\simeq\frac12\sqrt{\frac{k_BT}{FL_p}}\quad(FL_p\gg k_BT)

检查弱拉伸斜率与强拉伸标度，能发现少写因子、单位混用和把轮廓长度误当伸长等错误。高力极限仍受不可伸长模型的适用范围限制。

对应阅读：Marko & Siggia · Wang et al.

算例：从八成拉到九成需要多少力

取教学参数 $L=1000\;\mathrm{nm}$ 、 $L_p=50\;\mathrm{nm}$ 、 $k_BT=4.11\;\mathrm{pN\,nm}$ 。先算前面的力尺度，为 $0.0822\;\mathrm{pN}$ 。相对伸长为八成时，方括号内等于 $6.80$ ，张力约 $0.559\;\mathrm{pN}$ ；九成时变成 $25.65$ ，张力约 $2.11\;\mathrm{pN}$ 。

伸长只多了一成轮廓长度，力却接近四倍。局部刚度就是力—伸长曲线的斜率；越往右走，斜率越陡。下一章接上光阱后，这条陡曲线会改变珠子位移和仪器的有效刚度。

对应阅读：Marko & Siggia

动手检验预测

把链慢慢拉直

先预测从八成拉到九成时，力会不会只增加八分之一。拖动光阱，比较分子伸长与张力。
保持链参数不变，换软、硬光阱。区分光阱中心移动多少、珠子移动多少，以及链实际伸长多少。
展开模型说明，找出热涨落线性化所用的局部工作点。大幅拖动后会重新求平衡，曲线示意不代表一条已求出的三维微观构象。

练习与解释性答案

同样的相对伸长下，把轮廓长度加倍，插值式的张力怎样变？

展开解释

张力不变。相对伸长与持续长度都未改变，方括号和前面的力尺度相同。绝对伸长会加倍，局部刚度则减半。

一条曲线能一直穿过轮廓长度，仍标成这里的不可伸长蠕虫链吗？

展开解释

不能。该模型只允许伸长小于轮廓长度。要进入更高力范围，需要定义链本身的拉伸弹性，并说明结构转变何时让这个扩展也失效。

来源与计算范围

Wang et al., Stretching DNA with Optical Tweezers, Biophysical Journal 72, 1335–1346 (1997)

图 1 给出表面、DNA 与珠子的几何；弹性分析区分熵弹性和链本身的拉伸。这里采用共线、不可伸长的教学模型，自选参数并生成合成记录，没有数字化论文实验点。

Marko & Siggia, Stretching DNA, Macromolecules 28, 8759–8770 (1995)

蠕虫链弹性与弱、强拉伸之间的插值。页面使用的插值式近似统计力学模型；链本身的伸长、扭转和过拉伸不在实验范围内。