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Sandbox Physics
从一颗珠子读懂单分子力学

L2 · 第 4 章

为什么同一个分子不会总在同一拉力下展开

Sandbox Physics ·

分子越过展开势垒的时刻有随机性。拉力降低前向势垒，让展开更容易发生，却不指定某个必然展开的力。重复拉同一种分子，得到的是一团展开力；要解释这团分布，需要同时知道分子的逃逸率和施力随时间怎样变化。

一小段时间内，什么叫“更容易展开”

只跟踪一个折叠态和一个吸收的展开态。分子尚未展开时，在很短时间 dtdt 内展开的概率近似为 k(F)dtk(F)dt。这里 k(F)k(F) 是受力后的跃迁率，单位为每秒；它不是截至现在已经展开的概率。

用 S(t)S(t) 表示到时刻 tt 仍未展开的概率。能在下一小段时间展开的，必须先存活到现在，因此存活概率的下降率还要乘 S(t)S(t)。从这个条件概率出发，就得到指数中累积风险的表达式。

dSdt=−k(F(t))S(t),S(t)=exp⁡ ⁣[−∫0tk(F(s)) ds]\frac{dS}{dt}=-k(F(t))S(t),\qquad S(t)=\exp\!\left[-\int_0^t k(F(s))\,ds\right]
这是假设给定当前力后跃迁无记忆的单势垒模型。这里不含重折叠、分子间差异和多个隐藏折叠态。

对应阅读：Evans & Ritchie

拉力怎样改变一道势垒

把折叠态到过渡态沿拉伸方向的距离记为 x‡x^\ddagger。在 Bell 近似里，拉力给出机械能降低 Fx‡Fx^\ddagger，逃逸率随这个能量与热能之比的指数增长。零力速率 k0k_0 则保留在前面。

过渡态可以理解为离开原来稳定形状必须经过的窄口。这里用一个有效距离描述窄口受到拉力的影响；高力下势垒形状改变时，这个近似会失效。实验台的速率与距离是教学参数。

k(F)=k0exp⁡ ⁣(Fx‡kBT)k(F)=k_0\exp\!\left(\frac{Fx^\ddagger}{k_BT}\right)
力用皮牛，距离用纳米，指数便是无量纲量。相同拉力下，过渡距离更大意味着力对速率的影响更强。

对应阅读：G. I. Bell · Evans & Ritchie

恒力下，等待时间没有预约

若理想反馈把力固定，速率就不随时间改变。存活曲线是指数，平均等待时间为速率的倒数。已经等待了很久的同一状态，下一小段时间的条件展开概率仍然相同。

例如取 k0=0.10  s−1k_0=0.10\;\mathrm{s^{-1}}、x‡=0.50  nmx^\ddagger=0.50\;\mathrm{nm} 与 kBT=4.11  pN nmk_BT=4.11\;\mathrm{pN\,nm}。恒力 10.0  pN10.0\;\mathrm{pN} 下速率约为 0.338  s−10.338\;\mathrm{s^{-1}}，平均等待约 2.96  s2.96\;\mathrm{s}。观察三秒仍未展开的概率约为 0.3630.363。这类记录很常见，不能作为失败实验丢掉。

S(t)=e−kt,p(t)=ke−kt,⟨t⟩=1kS(t)=e^{-kt},\qquad p(t)=ke^{-kt},\qquad \langle t\rangle=\frac1k
概率密度乘一小段时间才是落在该区间的概率。平均等待时间不代表每条记录都会在这一时刻展开。
折叠比例时间（秒）
000.2520.5040.75618
恒力十皮牛算例的解析存活参考。光滑曲线描述一群分子的概率，单个分子只会在某个随机时刻展开。

对应阅读：Evans & Ritchie

线性加载把等待时间换成展开力

从初始力 F0F_0 开始，按恒定加载率 rr 增力，便有 F=F0+rtF=F_0+rt。力越大，速率越高。把累计风险中的时间换成力，可以直接算出展开力分布。

为了采样一条记录，先取零到一之间的均匀随机数 UU，再让累计风险达到 −ln⁡U-\ln U。Bell 模型下这一步能解析反解，避免用很粗的时间步碰运气。改变随机种子会换一条轨迹，分布规律保持相同。

α=x‡kBT,S(F)=exp⁡ ⁣[−k0αr(eαF−eαF0)],p(F)=k(F)rS(F)\alpha=\frac{x^\ddagger}{k_BT},\qquad S(F)=\exp\!\left[-\frac{k_0}{\alpha r}(e^{\alpha F}-e^{\alpha F_0})\right],\qquad p(F)=\frac{k(F)}rS(F)
此式用于 r>0r>0、F≥F0F\ge F_0。实验台从 F0=2  pNF_0=2\;\mathrm{pN} 开始；起始力为零时，第二个指数项为一。若端点匀速拉动，加载率会随串联刚度改变，需要按实际力历程积分。

对应阅读：Evans & Ritchie

从一份默认记录读出事件

实验台的合成默认参数与上面的恒力算例分开列出：k0=0.100  s−1k_0=0.100\;\mathrm{s^{-1}}、x‡=0.450  nmx^\ddagger=0.450\;\mathrm{nm}、kBT=4.114  pN nmk_BT=4.114\;\mathrm{pN\,nm}。力从 2  pN2\;\mathrm{pN} 开始，以 12  pN s−112\;\mathrm{pN\,s^{-1}} 增长，记录六秒；带宽参数为 8  Hz8\;\mathrm{Hz}，每 0.020  s0.020\;\mathrm{s} 采样。种子 4949 生成 128128 个分子。

表中先看第一个分子：展开事件发生在连续时间里，探测器只能在后面的一个采样点越过阈值。再看整组速率估计，它会受随机等待与探测延迟共同影响。默认六秒内所有分子都检出了展开；换成较小恒力后，保留未展开记录就变得尤其重要。

随机展开的合成默认记录；首达真值、探测事件与整组估计分别标明。
量保存值
首个分子的真实展开时刻1.85230  s1.85230\;\mathrm{s}
首个分子的探测时刻1.86  s1.86\;\mathrm{s}
给定零力速率0.100  s−10.100\;\mathrm{s^{-1}}
由全部首达真值估计的零力速率0.0932  s−10.0932\;\mathrm{s^{-1}}
由全部探测事件估计的零力速率0.0918  s−10.0918\;\mathrm{s^{-1}}

对应阅读：Sandbox Physics

动手检验预测

比较一次展开与一群展开

  1. 选“恒力等待”，先预测三秒后是否还可能有分子未展开。比较单条记录与整组存活曲线。
  2. 换一个种子，观察单次事件如何移动，再看群体规律。观察结束时仍未检出展开的记录会按右删失处理。
  3. 比较“慢慢拉”和“快速拉”，区分真实加载力、探测器的延迟响应以及群体展开力分布。

练习与解释性答案

  1. 两秒后还没有展开，意味着接下来一秒更容易展开吗？

    展开解释

    在本章恒力、单态、无记忆模型里不意味着。分子存活到两秒这一条件，不改变下一秒的条件风险。实验若显示明显等待时间依赖，就要检查多态、速率漂移或分子间差异。

  2. 把未展开的长记录删掉，平均等待时间会怎样偏？

    展开解释

    会偏短，因为最长的等待更容易被删除。保留观察结束时刻并标记为右删失，才能使用这段“至少等了这么久”的信息。

来源与计算范围

  1. Sandbox Physics, FR19 synthetic default records and SHA-256 manifest (2026-10-28)

    三个教学实验的固定默认参数、种子与保存的观测通道。全部记录均为合成数据；清单列出各 JSON 文件和校验值。

  2. Evans & Ritchie, Dynamic Strength of Molecular Adhesion Bonds, Biophysical Journal 72, 1541–1555 (1997)

    受力逃逸与加载率相关的断裂分布。这里的 Bell 首达模型只含一道不可逆势垒，采用明确给出的教学速率，没有拟合某种蛋白或重建论文数据。

  3. G. I. Bell, Models for the Specific Adhesion of Cells to Cells, Science 200(4342), 618–627 (1978)

    印刷页 622 的式 (16) 与页 623 的图 6：力相关的键寿命和受力倾斜的能量景观。这里取寿命倒数作为一道不可逆教学势垒的速率，省略重结合，参数不对应某种蛋白。

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