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Sandbox Physics
从一颗珠子读懂单分子力学

L3 · 第 5 章

怎样从一群展开事件估计势垒

Sandbox Physics ·

加载更快，分子来不及在小力下展开，展开力分布就向高力移动。比较多种加载率，可以估计力对逃逸速率有多敏感。真正进入估计的应当是每条记录的力历程、事件和观察终点，而不只是直方图最高的一格。

峰值移动的斜率告诉我们什么

把上一章的概率密度取对数，对力求导。峰值处导数为零，得到峰值时的逃逸率等于加载率乘 x‡/(kBT)x^\ddagger/(k_BT)。代入 Bell 速率后，峰值随加载率的对数线性上升。

这给出一种直观读图法：横轴用加载率的对数，纵轴用展开力峰值，斜率与过渡距离成反比。直方图分箱、样本量和有限记录长度都会影响峰的位置，正式估计还要回到逐条记录。

F∗=kBTx‡ln⁡ ⁣(rx‡k0kBT)F_* = \frac{k_BT}{x^\ddagger}\ln\!\left(\frac{r x^\ddagger}{k_0k_BT}\right)
只有 F∗>F0F_*>F_0 时，峰才在起始力以上。否则密度最大值就在起始边界 F0F_0。实验台的起始力为两皮牛。

对应阅读：Evans & Ritchie

完整算例：加载率增加十倍

仍取 kBT=4.11  pN nmk_BT=4.11\;\mathrm{pN\,nm}、x‡=0.50  nmx^\ddagger=0.50\;\mathrm{nm}、k0=0.10  s−1k_0=0.10\;\mathrm{s^{-1}}。加载率 10  pN s−110\;\mathrm{pN\,s^{-1}} 时，内部峰约在 20.5  pN20.5\;\mathrm{pN}；增加到 100  pN s−1100\;\mathrm{pN\,s^{-1}}，峰约在 39.5  pN39.5\;\mathrm{pN}。差值约 18.9  pN18.9\;\mathrm{pN}，等于热能除以过渡距离再乘十的自然对数。

这些数来自同一个单势垒教学模型。若实验在不同加载区间出现不同斜率，可以检查势垒形状、多个通道和力的标定；不能只凭一条折线就宣布看见了某个原子结构。

对应阅读：Evans & Ritchie

未展开的记录也进入似然

第 ii 条记录观察到 tit_i；若看见展开，记 δi=1\delta_i=1，否则记零。已知过渡距离时，把沿真实力历程的指数因子积分，记为 AiA_i。每条事件贡献一次速率因子，每条记录都贡献存活概率。

每个加权暴露量仍以秒计。把事件的速率因子和所有记录的存活概率相乘，再取对数，就能看出零力速率怎样进入似然。对它求导并令结果为零，得到事件数除以总加权暴露时间。恒力、同负载时，事件数除以总观察时长估计的是受力后的速率；再除以固定力的指数因子，才得到零力速率。完全没有事件时，估计落在零边界，总暴露时间仍能给出上限。

Ai=∫0tieFi(t)x‡/(kBT)dt,ln⁡L(k0)=Neventln⁡k0−k0∑iAi+constantA_i=\int_0^{t_i}e^{F_i(t)x^\ddagger/(k_BT)}dt,\qquad \ln L(k_0)=N_{\rm event}\ln k_0-k_0\sum_i A_i+\mathrm{constant}
过渡距离已固定，与零力速率无关的项并入常数。每条删失记录也贡献一段加权暴露时间。
dln⁡Ldk0=Neventk0−∑iAi=0,k^0=∑iδi∑iAi\frac{d\ln L}{dk_0}=\frac{N_{\rm event}}{k_0}-\sum_i A_i=0,\qquad \widehat k_0=\frac{\sum_i\delta_i}{\sum_i A_i}
该式还假设事件时间准确。若距离和零力速率都未知，需要组合多个负载条件；两者的估计可能高度相关。

对应阅读：Evans & Ritchie

探测阈值会把等待时间拉长

真实装置里，分子展开之后，珠子和探测器都需要时间响应。先看只有探测器滞后的理想参照：无噪声的孤立位移阶跃经过连续一阶低通，达到一半高度的时刻会延后。

展开实验台把珠子视作即时达到受力平衡，再给位置采样加入独立高斯探测噪声，最后使用离散单极点滤波。它没有另设珠子弛豫，也没有模拟热运动。识别时，先减去经过同样滤波的已知折叠基线，再找第一次超过半个位移增量的采样点。事件真值和探测事件分别保存；观察结束前没检出的记录仍按右删失保留。

y(t)=Δz(1−e−(t−t0)/τd),t1/2−t0=τdln⁡2y(t)=\Delta z\left(1-e^{-(t-t_0)/\tau_d}\right),\qquad t_{1/2}-t_0=\tau_d\ln2
这是连续、无噪声的孤立阶跃参照，τd=(2πfd)−1\tau_d=(2\pi f_d)^{-1}。实际采样只能把跨阈时刻定位到一个采样间隔，噪声还会改变首次跨越。
yj=ayj−1+(1−a)xj,a=e−2πfdΔty_j=ay_{j-1}+(1-a)x_j,\qquad a=e^{-2\pi f_d\Delta t}
这是展开实验保存数据所用的离散滤波器。截止参数来自连续单极点；接近采样的 Nyquist 频率时，应使用这条递推式计算响应。

对应阅读：Lang et al.

把检验留给新的加载方式

用几种线性加载率估计参数后，先冻结它们，再预测恒力等待或分段加载。只比较已经参与拟合的直方图，很容易掩盖模型遗漏。

若新协议下系统性偏离，先检查实际力、串联弹性与事件检测。排除仪器解释后，再考虑多势垒或重折叠。第八章会把这种“先拟合、后预测”的思路用到马达状态网络。

对应阅读：Evans & Ritchie · Lang et al.

动手检验预测

从保存的事件重新估计

  1. 比较“慢慢拉”和“快速拉”，先预测峰值移动方向。两种预设保留相同分子速率参数。
  2. 导出整组记录，检查每条事件或删失标记，再用加权暴露时间复算零力速率。
  3. 只降低探测带宽，比较事件真值估计和阈值事件估计。注意“迟钝的探测器”还会切换到恒力；要单独研究带宽，应在同一协议内调节。

练习与解释性答案

  1. 恒力下共观察二十次展开，总暴露时间为四十秒，受力速率估计是多少？

    展开解释

    受力速率估计为 0.500  s−10.500\;\mathrm{s^{-1}}。总时长包括尚未展开就结束的记录。估计零力速率时，还要除以该力下的指数增强因子。

  2. 加载很慢，内部驻点落到起始力以下，峰值在哪里？

    展开解释

    峰就在起始力边界。实验从两皮牛开始时，最大值只能在两皮牛及其以上寻找。内部驻点公式只适用于落在实际支持区间内的驻点。

来源与计算范围

  1. Lang et al., An Automated Two-Dimensional Optical Force Clamp for Single Molecule Studies, Biophysical Journal 83, 491–501 (2002)

    装置与反馈部分说明外加负载、珠子响应和探测器响应为什么需要分开。展开与马达实验采用理想给定力控制，没有模拟整套反馈仪器。

  2. Evans & Ritchie, Dynamic Strength of Molecular Adhesion Bonds, Biophysical Journal 72, 1541–1555 (1997)

    受力逃逸与加载率相关的断裂分布。这里的 Bell 首达模型只含一道不可逆势垒，采用明确给出的教学速率，没有拟合某种蛋白或重建论文数据。

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