FR15-B · 用相互重叠的窗口走过势垒

Umbrella 采样与 MBAR

怎样把带偏置的轨迹拼成平衡自由能？ 先让每个窗口采到自身的平衡分布，再靠共同访问的构型把窗口接起来。MBAR 扣除已知偏置，估计平衡占据；若隐藏方向一直困在同一个阱里，横向窗口重叠也会给出错的自由能。

沿二维地形移动采样窗口，把有种子的轨迹合在一起，与数值积分得到的自由能比较。再故意留出空隙，或让隐藏坐标困在一个阱里。

重建的右侧占据 $0.563$

分块 bootstrap 标准误差 $0.0585$

计入相关后的样本数估计 $55.4$

相邻窗口最弱重叠 $0.319$

把窗口连起来

热能

k_{\mathrm B}T

1

窗口刚度

\kappa

12

所选窗口

i

4

窗口中心

c_i

0

拖动彩色菱形移动窗口。发光小点回放已保存的模拟轨迹。

采样设置与新种子

普通窗口含两条独立轨迹，分别从隐藏方向两侧出发。“隐藏方向被困住”只从上方谷底出发，并提高纵向势垒。

$\Delta t=0.001,\quad N_{\rm burn}=8000,\quad s=20,\quad \gamma=1$

每条轨迹的种子都会保存进记录。

势能、边界与误差

$U=3(x^2-1)^2+b(y^2-1)^2+1.5xy$

坐标无量纲，限制在半宽为 1.8 的反射正方形内。通常纵向势垒系数取三，隐藏陷阱取十四。热能以固定的参考能量为单位。

自由能曲线由四十八格加权直方图计算。十二次循环分块 bootstrap 估计右半平面占据的误差，每个数据块都取自同一条独立轨迹。它描述已访问状态内的波动，无法发现整座没去过的谷。

重叠警告采用文档中规定的经验阈值。通过检查只能说明窗口在所采样区域相接，不能证明每个窗口已达到平衡。积分参考独立于轨迹和拟合。

模型假设

数据来自二维无量纲势上的过阻尼 Langevin 模拟，边界反射，谐和偏置只作用于横坐标。MBAR 要求每个窗口都达到自身的平衡分布；横向重叠无法证明隐藏方向已经采全。分块 bootstrap 的小误差也可能漏掉未访问的状态。带偏置轨迹的时间不能直接当作反应时间。

有种子的模拟 · 独立积分参考

去掉偏置以后，还剩下什么？

相连的窗口把重建曲线与独立参考放在一起比较。

核心数学模型

已知的谐和偏置

B_i(x)=\frac{\kappa}{2}(x-c_i)^2,\qquad u_i=\frac{U+B_i}{k_{\rm B}T}

窗口中心和刚度决定偏置能。把总能量除以热能，得到无量纲的约化势。

MBAR 合并保存的构型

\widehat f_i=-\ln\sum_n\frac{e^{-u_i(z_n)}}{\sum_jN_j e^{\widehat f_j-u_j(z_n)}}

求和遍历所有已保存构型。每个状态都有样本数和待求的归一化常数。把第一个约化自由能设为零，只是固定共同的任意常数。

回到无偏分布

w_n\propto\frac{e^{-U(z_n)/(k_{\rm B}T)}}{\sum_jN_j e^{\widehat f_j-u_j(z_n)}},\qquad F(x)=-k_{\rm B}T\ln p(x)+C

用这些权重统计横坐标，再取负对数，得到自由能。浅色参考来自独立二维积分，不参与 MBAR 拟合。

常见难点

帧数多，独立信息未必多

容易误解保存一帧，就多一次独立观察。

正确理解相邻帧共享一段运动历史。诊断同时估计两个坐标的自相关；bootstrap 在每条独立轨迹内部抽取连续数据块。

动手实验

01
先看窗口怎样交接
先看“相连的窗口”。选一个窗口或拖动菱形中心，再比较青色重建曲线和浅色积分参考。
你会看到： 相邻颜色的轨迹会访问一部分相同区域。橙色合并直方图还带着偏置；MBAR 重新分配了各点权重。
02
去掉中间的桥
选“中间缺了一段”，看重叠矩阵和两团分离的轨迹。
你会看到： 经验重叠图断开了。两组样本无法可靠确定相对归一化，页面停止显示一条全局重建曲线。
03
再检查隐藏方向
选“隐藏方向被困住”。比较纵向覆盖范围、重建占据和误差条。
你会看到： 横向窗口仍然重叠，轨迹却都留在上方隐阱。反复重采这些数据块，仍可能围着错误答案给出很小的误差条。

Umbrella 采样与 MBAR

去掉偏置以后，还剩下什么？