MBAR 怎样把不同窗口接成同一份分布

一张构型照片要放回每个窗口里算能量

把完整构型写作 $\mathbf r_n$ ，所有窗口共保存 $N$ 个构型。窗口 $k$ 有 $N_k$ 个样本，约化势能为 $u_k=\beta(U+w_k)$ ，无量纲自由能为 $f_k=-\ln Z_k$ 。已知每个构型后，可以计算它假如处在任一窗口会有多少能量。

混合样本的密度与 $\sum_k N_k e^{f_k-u_k(\mathbf r)}$ 成正比。某个构型如果在很多窗口里都很容易采到，就需要较小的目标权重；只有少数窗口能贡献它时，权重通常较大。分母中的 $N_k$ 正是采样量不等时所需的修正。

若所有 $f_k$ 已知，对目标窗口 $i$ 的权重求和就能估计它的配分函数。再要求这个估计恰好等于正在使用的配分函数，就得到自洽方程。把更新后的自由能放回分母，反复迭代到变化足够小。每轮减去第一个自由能，把整体零点固定。

同温且偏置已知时，这套方程也可写成 PLUMED 教程所用的 binless WHAM 形式。数值上要在对数域计算指数和，避免非常高的势垒造成下溢。迭代收敛只说明这份数据的方程求解成功；一组受困的轨迹也能给出稳定解。

\hat f_i=-\ln\sum_{n=1}^{N}\frac{e^{-u_i(\mathbf r_n)}}{\sum_{k=1}^{K}N_k e^{\hat f_k-u_k(\mathbf r_n)}}

这是 Shirts 与 Chodera 的式 (11)。所有自由能可同时加一个常数；窗口间的差才有意义。

目标是无偏模型，其约化势能为 $u_0=\beta U$ 。目标状态可以没有直接采样轨迹。先为每个保存构型计算未归一化权重 $v_n$ ，再除以权重总和。目标平均就是这些权重乘观测量之和。

若各窗口温度相同、只相差已知偏置，共同的 $e^{-\beta U}$ 在分子与分母里抵消。重加权可以只用偏置能量；隐藏方向仍必须在轨迹中充分采样。代数上的抵消没有替我们探索构型空间。

v_n=\frac{e^{-u_0(\mathbf r_n)}}{\sum_k N_k e^{\hat f_k-u_k(\mathbf r_n)}},\qquad W_n=\frac{v_n}{\sum_m v_m},\qquad \widehat{\langle A\rangle}_0=\sum_n W_n A(\mathbf r_n)

这是无采样目标状态的归一化权重。画自由能时，还要用这些权重估计指定坐标的概率密度。

目标模型只有左、右两种等能构型。窗口甲把右边加上 $\ln 3$ 的约化能量，窗口乙反过来。甲保存十二次，出现九左三右；乙保存四次，出现一左三右。两窗口配分函数相同，可取 $\hat f_1=\hat f_2=0$ 。

左构型的混合分母为 $12+4/3=40/3$ ，右构型为 $12/3+4=8$ 。无偏未归一化权重分别为 $3/40$ 与 $1/8$ 。十个左构型加起来是四分之三，六个右构型也是四分之三；归一化后左右各一半。原始十六个计数却给左边 $10/16=0.625$ 。

这个例子中计数恰好等于各窗口的期望比例，便于手算。随机样本一般不会恰好恢复一半；那部分误差需要用独立重复和下一章的方法衡量。

原创双构型例题；能量以热能为单位。
构型	窗口甲计数	窗口乙计数	每个构型的目标权重
左	9	1	$1/20$
右	3	3	$1/12$

MBAR 不对输入能量分箱；若最终要画 $F(s)$ ，仍须从目标权重估计密度。宽为 $\Delta s_j$ 的箱内权重总和为 $P_j$ ，密度近似是 $P_j/\Delta s_j$ 。箱太宽会抹平势垒，太窄会留下很多零计数。零计数不能靠随意加一个小数就变成观测。

还要检查窗口重叠。没有实际桥梁的两段，可能在浮点运算里保留极微小的联系；那不等于数据支持它们的相对高度。实验台会保留无支持的区域，并显示可用覆盖范围。

\hat F_j=-k_{\mathrm B}T\ln\!\left(\frac{\sum_{n:\,s_n\in B_j}W_n}{\Delta s_j}\right)+C

密度需要除箱宽。不等宽分箱须按各自箱宽换成密度。