一万帧轨迹能提供多少次独立观察

热浴既拖慢运动，也不断推它

在强摩擦环境中，小珠的动量衰减得很快，可以只跟踪位置 $\mathbf r=(x,y)$。势能梯度指向上坡，负梯度力把小珠拉下坡；热浴又给它随机的推力。各向同性摩擦记作 $\zeta$，扩散系数为 $D=k_{\mathrm B}T/\zeta$。两者必须一起改变，才能保持同一个温度。

下面的 $d\mathbf W_t$ 是两个独立 Wiener 增量，每个分量的均值为零、方差为 $dt$。数值计算以小步长 $\Delta t$ 加上确定性下坡位移与高斯随机位移；越界后反射。这个有限步长模拟需要做步长收敛检查。

详细平衡限制概率怎样流动

把连续空间暂时分成小格子。$P_{ij}$ 表示一步从格子 $i$ 到 $j$ 的概率，$\pi_i$ 是平衡占据。详细平衡要求每一对格子间的平均正向流与反向流相等。它比“总概率不再变化”更强，排除了持续循环的稳态概率流。

势能相同、温度相同，并不要求每一帧移动得一样快。只要相应噪声也随摩擦改变，摩擦较大的系统可以走同样的统计路线，只是花更长时间。第七章会把这个区别变成自由能完全相同、速率却不同的例子。

用相邻帧的相似程度修正误差

先指定要估计的量 $A_n$，例如每帧的横坐标，或“是否在右谷”的零一指示量。相隔 $\ell$ 帧的归一化协方差记作 $\rho_A(\ell)$。如果长时间相关之和收敛，样本均值的方差等于独立样本公式乘统计低效因子 $g_A$。

完整例题：一个平稳序列满足 $\rho_A(\ell)=0.9^\ell$。等比数列相加得到 $g_A=1+2(0.9/0.1)=19$。保存一万帧，只相当于约 $526$ 个独立观察。独立样本公式会把均值标准误低估约 $\sqrt{19}=4.36$ 倍。

有效样本数依赖观测量。横坐标可能已经多次往返，隐藏方向却没有换谷。只报告一个最快变量的相关时间，会让整个计算显得过于可靠。

来源：PLUMED Masterclass 21.2 · Michael R. Shirts and John D. Chodera

困在一个谷时，误差条可能很小

一颗小珠在左谷内晃动很快。你拍得再久，谷内均值都会很稳定，误差条看上去越来越漂亮。可是，如果从未离开左谷，右谷有多大权重仍然未知。相关时间的估计也看不到一个从未发生的跃迁。

把轨迹分成连续长块，比较前半段与后半段，并从两个不同山谷分别启动。若不同起点给出不同长期分布，增加采样或改变方法比继续细化误差条更有用。分块长度逐步增大后误差趋于平台，是有价值的检查；没有平台时，应保存这个失败结果。