Metadynamics 怎样让走过的谷逐渐变浅

让轨迹留下会推人的小丘

用 $s$ 表示集体变量，$V(s,t)$ 表示逐渐累积的偏置。每隔 $\tau$ 在当时位置 $s_j$ 加一个宽度为 $\sigma$、高度为 $h_j$ 的高斯小丘。偏置的斜率进入力，小珠便较少停留在已经堆高的地方。

Umbrella 的弹簧在一次窗口采样中固定不变；这里的偏置由整段历史决定。有限时间的帧来自不断变化的分布，不能直接套一份固定偏置的平衡 MBAR 输入。

来源：Max Bonomi

已经堆得高的地方，后来加得更轻

Well-tempered 沉积引入温度参数 $\Delta T>0$。已有偏置越高，新小丘越低。为避免与摩擦混淆，把偏置因子记作 $b_{\mathrm{WT}}=(T+\Delta T)/T$。原论文中温度按能量单位写；这里显式保留 $k_{\mathrm B}$。

在偏置变化足够慢、给定 $s$ 时隐藏自由度已平衡的近似下，当前位置概率正比于 $e^{-[F(s)+V(s)]/(k_{\mathrm B}T)}$。平均沉积率还要乘上 $e^{-V/(k_{\mathrm B}\Delta T)}$。长时间中，各位置以相同速率继续抬高；令这个乘积不随 $s$ 改变，就能解出偏置的形状。

来源：Alessandro Barducci · Max Bonomi

从一条偏置曲线算回自由能

完整例题：令 $b_{\mathrm{WT}}=5$，在长时极限里，两点间偏置差为 $-3.2\,k_{\mathrm B}T$。乘上 $-5/4$，得到自由能差 $4.0\,k_{\mathrm B}T$。如果直接用负偏置，会少算五分之一。

对应的集体变量分布正比于 $e^{-F/(5k_{\mathrm B}T)}$，比原分布平坦。这里说的是投影分布被展宽，不是所有分子自由度都加热到了五倍温度。选择太大的偏置因子，会把计算花在不感兴趣的高自由能区域。

一组离线轨迹怎样显示采样加快

把同一个二维势分别做无偏采样与 well-tempered 采样，用八个配对种子比较。每条轨迹长 $120$，步长 $0.002$；每 $0.3$ 个时间单位加丘，初始高度 $0.12$、宽度 $0.25$、偏置因子六。反应物与产物分别定义为 $x\leq-0.75$ 和 $x\geq0.75$，只有到达另一集合才记一次完整换谷。

无偏轨迹平均完成 $7.38$ 次换谷，偏置轨迹平均 $29.1$ 次。这直接说明所选参数提高了横向探索。有限时间偏置缩放后的自由能形状，与积分参考在 $[-1.4,1.4]$ 上的均方根差约为 $0.377$ 个能量单位；它仍有可见误差。原始轨迹、四百次小丘沉积与所有种子都保留在离线记录中。

这些换谷计数描述受偏置推动的运动，不能当作原系统速率。比较还应检查隐藏方向有没有跟上；本组中隐藏方向平均换谷次数从约六次增到九次，远没有横向增加得那么快。

横坐标铺平了，粒子仍可能困在上层

若只在 $x$ 上加丘，隐藏的 $y$ 方向仍可能有高势垒。粒子能在横向跑来跑去，轨迹看上去活跃，却一直留在同一条通道。偏置学到的是那条通道的条件地形。

先画条件分布，比较从不同隐藏谷启动的结果，再改变集体变量或加入第二变量。判断好坏的标准是它是否描述了控制慢交换的运动；一条漂亮而平坦的直方图不足以判断。

实际重建还可以采用专门处理时间依赖偏置的重加权方法，或冻结已经得到的偏置后另采平衡数据。后一种做法重新变成静态偏置问题，但仍需等待冻结后的分布平衡。两种数据要在记录中分清。