为什么最低的势阱不一定最常被访问

先给每个构型分配权重

想象一颗受热扰动的小珠，在有两座山谷的平面上不停游走。连续拍照，哪些位置出现得最多？在恒温平衡中，能量越低，单个小格子通常越常被访问。不过，一个山谷的总占据，还要把里面所有格子的概率加起来。

用 $x,y$ 表示两个构型坐标；正方向分别向右、向上。它们可以是经过缩放的分子形变，未必是实验室位置。势能为 $U(x,y)$，温度为 $T$，$k_{\mathrm B}$ 是 Boltzmann 常数，$\beta=1/(k_{\mathrm B}T)$。概率密度乘小面积才是概率。归一化因子 $Z$ 保证整个区域的概率相加为一。

来源：PLUMED Masterclass 21.2 · Michael R. Shirts and John D. Chodera

两个盒子已经能看见熵

先做一个能完整算完的例题。盒子甲有两个可区分的等能构型，能量为零；盒子乙有八个构型，每个能量比甲高 $k_{\mathrm B}T\ln 2$。甲的总权重为二；乙每个构型的权重为二分之一，八个加起来是四。乙的能量较高，却占据了三分之二的概率。

把状态数记作 $g$，等能盒子的熵为 $S=k_{\mathrm B}\ln g$。自由能 $F=E-TS$ 比较的是总权重。乙相对甲的自由能差为 $-k_{\mathrm B}T\ln 2$。负号说的是乙更常见，原因是它提供了更多选择。

连续山谷也一样。每个位置的权重由能量决定，山谷的宽度决定能把多少位置加进来。这里的“宽”指构型空间中的体积；真实的熵取决于构型空间体积，示意图的线宽只是画法。

投影时要把整条切片加起来

若相机只报告横坐标，就要把同一个 $x$ 上所有 $y$ 的概率相加，得到边缘密度 $p_x(x)$。对它取负对数，再乘热能，便得到沿横坐标的自由能 $F_x(x)$。常数 $C$ 只选择曲线的零点。

设某段山谷在横向位置 $x$ 附近可写为 $U(x,y)=V(x)+\kappa(x)y^2/2$，且隐藏方向足够宽，可近似对整条实数轴积分。高斯积分给出 $F_x(x)=V(x)+(k_{\mathrm B}T/2)\ln\kappa(x)+C$。横截面越硬、越窄，自由能就越高；最低势能 $V(x)$ 没有包含这项。有限盒子中的边缘分布要用实际边界积分。

换一个坐标，问题也跟着改变

把观察方向转过角度 $\theta$，定义 $s=x\cos\theta+y\sin\theta$。这叫集体变量：用少数几个数概括许多构型。每个 $s$ 对应一条斜切片，切片上的概率都要相加。某个方向能清楚分开两个谷，另一个方向却会把它们叠在一起。曲线变平，可能只是观察角度掩盖了势垒。

即使不换方向，只把坐标重新刻度，自由能也会改变。若 $z=h(s)$ 单调，概率守恒要求 $p_z(z)=p_s(s)/|h\prime(s)|$。比较不同坐标的“势垒高低”前，先说明密度相对于什么刻度定义。态与态的积分概率不受这种重新标尺影响。

贯穿课程的二维山谷

后面的数值例子使用有限方形 $\Omega=[-1.8,1.8]^2$，边界反射。坐标、势能与时间均已无量纲化，默认热能为一。势能参数 $a,b$ 控制两个方向的双阱高度，$c$ 耦合坐标，$d$ 令左右偏向不同。默认 $a=b=3$、$c=1.5$、$d=0$。这是可独立积分的教学模型。

它的好处是能把采样结果与另一种算法比较。参考曲线直接累加二维区域的 Boltzmann 权重；轨迹曲线来自粒子实际走过的位置。比较两者，可以检查采样是否恢复了所选投影的占据；隐藏方向还要另查。