Q053 · 冷却、计数、对照

量子气体占据

同一个势阱降温，哪种粒子会挤进最低能级？ 玻色子。降温时它们大量挤进最低能级；费米子每个态只能放一个，只好从下往上一级级填；可区分粒子介于两者之间。总粒子数固定，一个能级多占了，别的就少了，要对整体的占据方式抽样，不能一级一级单独算。

准备一小团粒子数固定的理想气体，每次记下所有能级各有几个粒子。再降温，比较玻色子、费米子和独立的可区分粒子。

当前设置记录数 $\text{—}$

平均基态占据比例 $\text{—}$

01 / 两种数原子的方式

降低温度，看最低能级。

记录冷玻色气体并保存。保持八个粒子，改成费米子；先比较占据的能级，再打开模型参考。

交叉偶极阱示意 · 发光表示模型平均密度，不是照片 · 逐模读出是概念性理想测量模块

重新制备
制备平衡态
记录占据

温度相对能级间隔

k_BT/(h\nu)

0.8

尚无记录；每次读出都重新制备。

做一组对照

统计制备

每次制备粒子数

N

8

轴向势阱频率

\nu/\mathrm{Hz}

500

采样与探测

采样种子

s_0

13721

同一个种子会重复出同样的样本，不能算作独立证据。

预测平均基态比例

改变制备前请先保存；移动扫描设置不会清掉记录。

气体是一维谐振阱中的有限正则系综，有六十四个非简并模式。占据数用理想投影测量读出，粒子质量取一个固定的假想值。模型不含相互作用和热化动力学，也不声称实现了有限温度下的体相凝聚转变。

02 / 每一行都来自一次重新制备

每份气体给出一整行占据数。

$j,\quad \overline n_j$ · 在当前设置下，蓝色是当前样本，橙色是最近保存的另一组样本。

显示单独的模型预测

\text{—}

近期原始占据：前十六级及尾部总和。每条完整记录都保持选定的总粒子数。

03 / 改变一个设置

冷却改变分布，每一次记录都看得到。

$k_BT/(h\nu),\quad \overline n_0/N$ · 拖动查看某个设置；也可以用滑块和键盘。

误差线是由各次制备之间的方差估出的近似百分之九十五逐点区间。每个温度都用一百份独立制备的平衡气体，不是同一份气体逐渐冷却的过程。

模型检查 · 与记录分开

填充能级，也改变云团尺寸。

$x/\mathrm{\mu m},\quad \rho(x)/\mathrm{\mu m}^{-1}$

蓝：所选统计；灰虚线：粒子数、温度相同的可区分对照。密度是模型期望，不是由占据记录重建的图像。

\text{—}

\text{—}

这是有限的一维理想气体，基态占据是平滑过渡的，不能从图里读出体相临界温度。

04 / 留下一组对照

把制备和证据一起保存。

最多八组固定样本，恢复即可查看原始设置；保存后继续采集会新建样本。CSV 保留每次试次与所有零通道。

单位、近似与一手来源

一维谐振子能谱取六十四个模，粒子数严格固定，横向运动冻结。用正则系综动态规划抽样完整的 Fock 占据；可区分粒子对照计入多项式排列重数。读出模块代表在能量本征基上的理想投影测量，不模拟吸收成像，也不是经过标定的实验分选器。云团是模型的单体密度；各种统计都用同一个假想质量：四十个原子质量单位。约化温度不变时，把势阱收紧会改变实际温度和长度尺度，能级占据却不变。

有限粒子数带来的涨落来自基态分布。把六十四模和九十六模的结果相比，可以看出截断的影响，这一项与试次误差分开报告。模型不含相互作用、碰撞、制备时间、蒸发，也不含真实逐模探测的误差。

Tong · Quantum Gases, Sections 3.5–3.6 · Xiong et al. · Canonical statistics

先抓重点

核心问题: 同一个势阱降温，哪种粒子会挤进最低能级？
一句话直觉: 粒子总数固定，各能级的占据就互相牵连。必须对完整构型整体采样，不能按每个能级的平均占据分别抽取。

核心数学模型

固定粒子数下的平衡分布

P(\mathbf n)=Z_N^{-1}\exp[-\sum_j j n_j/\tau],\quad \sum_j n_j=N,\quad \tau=\frac{k_BT}{h\nu}

玻色子每个模式可以放任意多个粒子，单组分费米子每个模式最多一个。这是有限的正则分布，不按巨正则系综对各能级独立采样。

可区分粒子作对照

P_{\rm MB}(\mathbf n)=\frac{N!}{\prod_j n_j!}\prod_j p_j^{n_j},\quad p_j=\frac{e^{-j/\tau}}{\sum_k e^{-k/\tau}}

独立粒子的总数同样严格守恒，只是排列简并度的算法和玻色子不同。

由各模式占据算出的云团密度

\rho(x)=\sum_j\langle n_j\rangle|\phi_j(x)|^2,\quad a=\sqrt{\frac{\hbar}{2\pi m\nu}}

云团由谐振子模式叠加而成，所有统计对照都取四十原子质量单位的质量。记录的数据是理想的逐模占据，不是照片。

常见难点

怎样理解结果

容易误解一个小冷云就证明了体相凝聚转变。

正确理解在这个有限的一维系统里，占据是平滑过渡的；这里也没有拟合热力学临界温度。

哪些是数据，哪些是示意

容易误解发光云团就是测量数据。

正确理解装置只是示意。蓝色记录图和原始 CSV 来自采样结果，模型参考另有标注。

动手实验

01
先预测
预测：把八个费米子冷却下来，它们能不能都进最低能级？
你会看到： 预测是等着检验的猜想，不是拟合出来的结果。
02
记录对照
记录冷玻色子并保存，再记录冷费米子。完整构型和平均占据都要看。
你会看到： 低温下，更多玻色子挤进基态。费米子受 Pauli 原理限制，只能逐级填充，云团依然较宽。
03
检验适用范围
先升温；再固定约化温度，改变阱频。分清哪些是占据真的变了，哪些只是实际长度和温度单位变了。
你会看到： 零结果和成功探测都要保存、导出。来源文档把采样不确定性和近似误差分开处理。

量子气体占据

每份气体给出一整行占据数。

冷却改变分布，每一次记录都看得到。

填充能级，也改变云团尺寸。

把制备和证据一起保存。