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Sandbox Physics

Q053 · 冷却 / 计数 / 对照

量子气体占据

制备粒子数固定的小型理想气体，逐次记录完整能级占据。降低温度，比较玻色子、费米子与独立可区分粒子。

交互模型量子气体占据
当前设置记录数—\text{—}
平均基态占据比例—\text{—}

02 / 每一行，都是一次重新制备

一份气体，一整行占据数。

j,n‾jj,\quad \overline n_j · 当前设置下，蓝色为当前样本，橙色为最近一组其他保存样本。

—\text{—}

近期原始占据：前十六级及尾部总和。每条完整记录都保持选定的总粒子数。

03 / 改变一个设置

冷却的变化，落在逐次记录里。

kBT/(hν),n‾0/Nk_BT/(h\nu),\quad \overline n_0/N · 拖动检查一个设置；键盘可使用滑块。

误差线由制备间方差给出近似百分之九十五逐点区间。每个温度使用一百份独立平衡制备，不是同一气体的冷却轨迹。

模型检查 · 与记录分开

填充能级，也改变云团尺寸。

x/μm,ρ(x)/μm−1x/\mathrm{\mu m},\quad \rho(x)/\mathrm{\mu m}^{-1}

蓝：所选统计；灰虚线：粒子数、温度相同的可区分对照。密度是模型期望，不是由占据记录重建的图像。

—\text{—}—\text{—}

这里有限一维理想气体的基态占据平滑变化，不能从图中读出体相临界温度。

04 / 留下一组对照

把制备和证据一起保存。

最多八组固定样本，恢复即可查看原始设置；保存后继续采集会新建样本。CSV 保留每次试次与所有零通道。

单位、近似与一手来源

六十四模一维谐振能谱中严格固定粒子数，横向运动冻结。正则动态规划采样完整 Fock 占据；可区分对照包含多项式排列重数。读出模块表示理想能量基投影测量，不是模拟吸收成像或标定的实验分选器。云团为模型单体密度，各统计均固定为四十原子质量单位的假想质量。约化温度不变时，收紧势阱会改变实际温度和长度，但能级占据不变。

基态分布保留有限粒子数涨落；六十四与九十六模对照单独报告截断敏感性，不与试次误差混淆。省略相互作用、碰撞、制备时间、蒸发及真实逐模探测误差。

Tong · Quantum Gases, Sections 3.5–3.6 · Xiong et al. · Canonical statistics

物理教程

量子气体占据

背景制备粒子数固定的小型理想气体，逐次记录完整能级占据。降低温度，比较玻色子、费米子与独立可区分粒子。

为什么值得理解保持制备一致，采集独立副本；改变一个原因，再比较保存的记录。

先抓重点

核心问题
冷却同一个势阱，谁能住进最低能级？
一句话直觉
固定粒子数把不同能级的占据联系起来；应采样完整构型，不能独立抽取每个能级的平均占据。

核心数学模型

固定粒子数平衡

P(n)=ZN−1exp⁡[−∑jjnj/τ],∑jnj=N,τ=kBThνP(\mathbf n)=Z_N^{-1}\exp[-\sum_j j n_j/\tau],\quad \sum_j n_j=N,\quad \tau=\frac{k_BT}{h\nu}

玻色子允许任意非负占据，单组分费米子每模至多一个。这是有限正则分布，不是独立巨正则采样。

可区分粒子对照

PMB(n)=N!∏jnj!∏jpjnj,pj=e−j/τ∑ke−k/τP_{\rm MB}(\mathbf n)=\frac{N!}{\prod_j n_j!}\prod_j p_j^{n_j},\quad p_j=\frac{e^{-j/\tau}}{\sum_k e^{-k/\tau}}

独立粒子仍严格守恒总数；它们的排列简并度不同于玻色计数。

模型密度，不是照片

ρ(x)=∑j⟨nj⟩∣ϕj(x)∣2,a=ℏ2πmν\rho(x)=\sum_j\langle n_j\rangle|\phi_j(x)|^2,\quad a=\sqrt{\frac{\hbar}{2\pi m\nu}}

云团来自谐振子模式，所有统计对照固定为四十原子质量单位；记录数据是理想逐模占据。

常见难点

理解极限

容易误解一个小冷云就证明了体相凝聚转变。

正确理解有限一维系统呈现平滑占据交叉；没有拟合热力学临界温度。

模型与记录

容易误解发光云团就是测量数据。

正确理解装置为示意；蓝色记录图与原始 CSV 来自采样结果，模型参考单独标明。

动手实验

  1. 01

    先预测

    预测冷却八个费米子能否让它们都进入最低能级。

    应该观察到： 预测是待检验的选择，不是拟合结果。
  2. 02

    记录对照

    记录冷玻色子并保存，再记录冷费米子，检查完整构型和平均占据。

    应该观察到： 低温使玻色基态占据增大；Pauli 填充使费米云仍较宽。
  3. 03

    检查边界

    升温，再固定约化温度改变阱频；分清占据变化与实际长度、温度单位的变化。

    应该观察到： 保存、导出零结果与成功探测；来源文档区分采样不确定性与近似误差。