FR06 · 沿碰撞轴膨胀

Bjorken 纵向膨胀

物质沿膨胀方向能不能推开邻居，为什么会改变降温速度？ 纵向压强推动膨胀，物质要为此做功，能量密度就降得更快。碰撞会补回纵向压强；自由飞行的粒子在局域静止系中逐渐失去纵向动量，沿膨胀方向的压强越来越小。

从相同初始能量出发，比较各向同性气体的自由流、理想流体和剪切应力弛豫。跟着膨胀，看能量怎样下降、纵横向压强怎样分开。

固有时 $2.46\,\tau_0$

能量密度 $0.335\,e_0$

纵横向压强比 $0.343$

能量匹配温度 $0.761\,T_0$

模型假设

模型共形、纵向 boost 不变，不含横向膨胀、守恒荷和体黏度。平衡压强为能量密度的三分之一。MIS 闭合保留一个剪切应力，BRSSS 二次项系数取零；它不求解动力学弛豫时间方程。初始剪切只调节 MIS 分支。非平衡时，温度和熵使用能量匹配的平衡态代理量。压强图形表示张量，不表示碰撞外形或动量分布。压强为负时会标出闭合外推。

膨胀中的能量密度

e/e_0

纵向压强与横向压强之比

P_L/P_T

判据说明与单位

时间用初始固有时作单位，能量密度用初值作单位；采用自然单位。上方形状编码归一化压强张量，不含真实长度尺度。

先抓重点

核心问题: 物质沿膨胀方向能不能推开邻居，为什么会改变降温速度？
一句话直觉: 同一时刻能量密度相同时，纵向压强越大，能量下降越快。

核心数学模型

跟着物质片写能量守恒

\frac{de}{d\tau}=-\frac{e+P_L}{\tau},\qquad P_L=\frac e3-\phi,\quad P_T=\frac e3+\frac\phi2

固有时沿着共动物质的轨迹计时。纵向压强为正时，除了稀释还有压强做功。这里把降低纵向压强的剪切变量定义为正。

剪切应力需要时间响应

\tau_\pi\frac{d\phi}{d\tau}=\frac{4\eta}{3\tau}-\phi-\frac{4\tau_\pi\phi}{3\tau},\quad\tau_\pi=\frac{C_{\tau\pi}}T,\quad\eta=C_\eta s_{\mathrm{eq}}

膨胀驱动剪切应力，有限弛豫时间让应力不能立刻跟上。最后一项来自共形 MIS 闭合；这里把 BRSSS 二次项取零。

理想共形极限

e(\tau)=e_0\left(\frac{\tau_0}{\tau}\right)^{4/3},\qquad T(\tau)=T_0\left(\frac{\tau_0}{\tau}\right)^{1/3}

把剪切应力取零，直接积分能量守恒。理想分支始终压强相等；各分支的温度都由能量匹配定义。

常见难点

流体描述与平衡

容易误解只要能用流体描述，纵横压强就必须相等。

正确理解黏性流体本来就允许压强不等。残差判断是否接近所选本构近似，压强比判断各向同性。

动手实验

01
从同样的初始能量出发
选“三条降温曲线”，让 MIS 初始剪切保持为零。
你会看到： 三者起初都各向同性，后来纵向压强不同，降温曲线就分开了。
02
改变应力跟上的速度
比较“剪切很快松弛”和“各向异性持续更久”。
你会看到： 弛豫和膨胀彼此竞争，应力跟得慢时，各向异性持续更久。
03
停在同一时刻比较
暂停，拖动发光时间柄，沿移动标记读能量和压强图。
你会看到： 理想分支遵循解析幂律。自由流起初有有限纵向压强，晚期才逐渐接近更慢的稀释规律。

Bjorken 纵向膨胀

压强改变能量下降的速度

膨胀物质做的功

核心数学模型

跟着物质片写能量守恒

剪切应力需要时间响应

理想共形极限

常见难点

流体描述与平衡

动手实验

从同样的初始能量出发

改变应力跟上的速度

停在同一时刻比较

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