给膨胀中的物质找一个局域静止系

从碰撞的一个切片开始

让两束原子核迎面接近。沿束流看过去，两个核若没有完全对准，重叠区就像一颗杏仁。这个轮廓只给出了初始几何；它怎样加速物质、最后向哪里发射粒子，还要接上动力学。

约定沿束流是 $z$ 轴，垂直束流的平面用 $x,y$ 表示。两个核中心在横向错开的距离叫碰撞参数，记作 $b$。每次碰撞沉积的能量都略有不同，平均轮廓接近圆形时，单个事件仍可能有明显的椭圆形或三角形起伏。

我们先取一块横向均匀的小片，只研究纵向膨胀。这样可以单独看清物质怎样被拉稀。后面再把横向形状加回来，研究它与末态粒子方向之间的关系。

先去掉整块物质的运动

能动张量 $T^{\mu\nu}$ 可以看成一张表：时间—时间项记能量密度，时间—空间项记能量流，空间项记各方向的动量流。希腊指标包含一个时间方向和三个空间方向。本课程采用 $g_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$ 的度规，后面的正负号都以此为准。

想象你坐上一辆跟着小片移动的车，不断调车速，直到看不到净空间能量流。这个观察系就是 Landau 局域静止系。把这张表与观察者的四速度相乘，会得到另一个四向量；如果结果仍与原向量平行，就叫本征向量，这里的比例系数是负的静止系能量密度。它的四速度 $u^\mu$ 满足 $u_\mu u^\mu=-1$；四速度把运动方向与相对论时钟合在一起表示。找车速这件事可以写成一个本征向量方程：

移动中的箱子有整体动能，箱内粒子的杂乱运动也有能量。找局域静止系，就是先把这两部分分开。整场碰撞可以有一个总质心系，各个小片却未必在那个系中静止。

静止以后，压强仍可能分方向

在纵向对称的小片里，两个横向压强相同，记作 $P_T$，沿束流的压强记作 $P_L$。本组模型采用共形近似，也就是能动张量的迹为零。于是三个空间压强之和恰好等于能量密度。

用剪切量 $\phi$ 表示纵向压强减少了多少：$P_L=e/3-\phi$，$P_T=e/3+\phi/2$。这套符号下，剪切量为正时，纵向压强较小，横向压强较大。后面推演膨胀时，符号不再改变。

热平衡时，三个方向的压强相同。远离平衡时，我们仍可给能量密度配一个“能量匹配温度”：找一团平衡共形物质，让它有相同的能量密度，再取它的温度。这个数方便比较能量尺度；要完整刻画非平衡状态，还需要粒子在不同方向的动量分布。

练习与解释性答案

来源与核读范围

1. J. D. Bjorken, Highly relativistic nucleus–nucleus collisions: The central rapidity region (1983)

   原始纵向 boost 不变时空图景、固有时与时空快度。正文另行推导压强做功方程。

2. Baier et al., Relativistic viscous hydrodynamics, conformal invariance, and holography, arXiv:0712.2451v3

   2008-07-15 第三版，§3.5 与 §6：Bjorken 化简、弛豫与因果性。实现模型将非线性的 lambda-one 系数设为零。

3. Florkowski, Heller & Spaliński, New theories of relativistic hydrodynamics in the LHC era, arXiv:1707.02282v3

   2017-10-19 第三版，§5.1、§5.3、§6、§7.4；用于符号与动理学、流体近似范围。此项是综述，并非独立实验数据。