FR06 · L3 · 第 7 章，共 9 章

初始形状怎样变成粒子的方向分布

一块杏仁形物质沿短轴更快遇到密度边缘，压强梯度可以给它更强的向外推动。最后发出的粒子就可能偏爱短轴方向。要把这幅图景写成计算，必须分别量化初始空间形状和末态动量方向。

读前准备需要加权平均、正弦和余弦。第 1 章的压强解释了推动从哪里来；这里的横向响应是另一套约化模型，与纵向常微分方程分别定义。

Sandbox Physics · 2026-10-27

先以形状自己的中心为原点

设横向沉积密度为 $\rho(x,y)$ 。先移动原点，让密度加权的平均位置为零，再定义 $\langle F\rangle_\rho=\int F\rho\,dxdy/\int\rho\,dxdy$ 。复指数 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ 是一根转动的单位箭头，其中 $i^2=-1$ ，实部、虚部分别记两个坐标分量。在极坐标下，第 $n=2,3$ 阶偏心率向量写成：

\varepsilon_n e^{in\Psi_n}=-\frac{\langle r^n e^{in\varphi}\rangle_\rho}{\langle r^n\rangle_\rho}

模长描述这种形变有多强，角度描述朝向。对平滑椭圆轮廓，前面的负号让二阶方向指向短轴。

若高斯轮廓沿两坐标轴的宽度是 $\sigma_x,\sigma_y$ ，且 $\sigma_y>\sigma_x$ ，就有 $\varepsilon_2=(\sigma_y^2-\sigma_x^2)/(\sigma_y^2+\sigma_x^2)$ 。三阶量描述三角形起伏；真实事件中，它的朝向未必与二阶朝向一致。

流谐波描述粒子动量朝向

用 $\phi$ 表示粒子动量的方位角。单个谐波的概率密度可写成 $p(\phi)=[1+2v_n\cos n(\phi-\Psi_n)]/(2\pi)$ 。把它与对应余弦相乘再积分，得到 $v_n$ 。这个数是方向分布的矩，与空间偏心率分属两个量。

v_n=\int_0^{2\pi}p(\phi)\cos n(\phi-\Psi_n)\,d\phi

三角函数的正交性会消去均匀项与其他谐波。叠加多个谐波时，还要确保总概率密度处处非负。

初始空间短轴可以对应末态动量偏爱方向。两幅形状分别代表不同物理量，由声明过的响应规律连接。

二阶和三阶形变不太大时，线性响应是有用近似。Gardim 等人曾用逐事件流体计算检验这样的估计。更高谐波常要加入低阶偏心率的乘积，需要相应的非线性响应关系。

先定义响应规律，再调黏度

实验台规定 $v_n=\kappa_n\varepsilon_n$ ，并采用下面的教学衰减式。 $\kappa_0$ 是未衰减的响应尺度， $C_\eta=\eta/s_{\rm eq}$ 是黏度参数， $RT$ 是无量纲的尺寸—温度乘积。系数 $a_d=1.8$ 属于这套教学定义。

\kappa_n=\kappa_0\exp\!\left[-\frac{n^2a_d C_\eta}{RT}\right]

高阶谐波对应更细的角结构，式中让它衰减得更快。这个指数式是指定的替代响应模型，未拟合成完整的逐事件相对论流体解。

固定初始形状再增大黏度，发射方向的起伏减弱。反过来，若观测起伏固定，改用更大的初始形变，就可以用更强的衰减补回来。后面会把这项退化写进统计推断。

完整例题

算出一幅看得见的椭圆调制

取 $\sigma_x=2$ 、 $\sigma_y=3$ ，空间偏心率为 $\varepsilon_2=5/13\simeq0.38462$ 。再选 $\kappa_0=0.34$ 、 $C_\eta=0.16$ 、 $RT=3.5$ 。

v_2=0.34\frac5{13}\exp\!\left[-\frac{4(1.8)(0.16)}{3.5}\right]\simeq0.0941

偏爱方向的概率密度正比于 1.188，垂直方向正比于 0.812，比值约 1.46。末态角起伏比初始空间形变小得多。

先预测，再操作模型

固定形状，黏度增大时，偏爱方向的粒子过剩会增强还是减弱？

比较“椭圆云团”和“接近圆形”，再还原椭圆云团，固定形状提高黏度，同时看发射方向与角分布。三阶谐波另在冻结的推断样本中引入。

形状到集体流 ↗

对照解释

二阶方向过剩随黏性衰减减弱。独立的推断基准对三阶采用同一响应规律，谐波阶数的平方因子更大。

练习与解释性答案

1. 只旋转密度轮廓、不改变形状，偏心率和流谐波的模长应怎样变化？

查看思路

模长不变，朝向跟着轮廓旋转。如果整体旋转就改变模长，模型便破坏了旋转对称性。

2. 完全光滑的圆形初态，在这个确定性线性模型中会有三角流吗？

查看思路

三阶偏心率为零，响应也为零。逐事件密度起伏可以带来三阶输入，但那是额外的初态信息。

来源与核读范围

Gardim et al., Mapping the hydrodynamic response to the initial geometry in heavy-ion collisions, arXiv:1111.6538v2
2012-03-05 第二版，§II–IV：偏心率、线性响应及高次谐波的非线性项。教学用指数衰减式另有定义，未由论文事件模拟拟合。
Bilandzic, Snellings & Voloshin, Flow analysis with cumulants: direct calculations, arXiv:1010.0233v2
2011-10-17 第二版，式 (3)–(4)、(11)–(18)：非流、Q 向量及均匀接受度下排除自关联的精确多粒子关联。