FR06 · L3 · 第 6 章，共 9 章

重算一段有明确范围的 MIS 吸引子基准

把时间和应力适当尺度化后，许多不同初态的轨迹可能逐渐靠近一条窄带。我们可以固定一套 MIS 模型，用两种变量独立求解同一组已发表方程，检验这件事。这样得到的结果，有明确方程、系数和数值误差，可以重新计算。

读前准备第 4–5 章介绍弛豫方程和梯度比较。这里需要链式法则，以及求解一阶微分方程的数值方法。阅读对象是 Heller–Spaliński 2015 年第二版的式 (4)、(5)、(8)–(10) 和图 1。

Sandbox Physics · 2026-10-27

先冻结论文版本和模型

取二次输运系数为零的简化共形 MIS 系统。论文系数预设采用下面这组黏度和弛豫常数。它们来自强耦合超对称理论的启发，不是 QCD 输运系数的实验测量。

C_\eta=\frac1{4\pi},\qquad C_\tau=\frac{2-\log2}{2\pi},\qquad C_{\lambda_1}=0

将二次系数设为零，是原文在式 (9) 之前明确采用的简化。默认教学预设另有声明过的系数。

限定复现目标是：有限初始时刻的 MIS 解怎样接近一条特殊的尺度化轨迹，与 2015 年论文图 1 所讨论的行为对应。这里不数字化原图，不做 Borel 重求和，也未重现 2020 年论文的大规模相空间点云和主成分分析。

取 $w=\tau T$ 、 $f=\tau\dot w/w$ 。共形关系给出 $\dot T/T=\dot e/(4e)$ ，代入守恒式后得到 $f=2/3+r/4$ 。压强各向异性可以记作 $\mathcal A=(P_T-P_L)/(e/3)=9r/2=18f-12$ 。

C_\tau w f\frac{df}{dw}+4C_\tau f^2+\left(w-\frac{16C_\tau}{3}\right)f-\frac{4C_\eta}{9}+\frac{16C_\tau}{9}-\frac{2w}{3}=0

这就是冻结来源的式 (9)。直接按尺度化时间积分，可以交叉检查另一套按固有时推进对数能量和剪切量的计算。

比较时，两套求解器从同一点出发，最后插值到相同的尺度化时间。各自独立缩小步长，检查差异是否收敛。两套粗网格恰好贴合，可能只是共同掩盖了插值误差。

在很小的正 $w$ 附近，正则条件留下两个根。参考曲线使用下面的正根，从很小的正数起点向前积分。缩小这个起点，也应该成为误差检查的一部分。

f_\star(0)=\frac23+\frac13\sqrt{\frac{C_\eta}{C_\tau}},\qquad r_\star(0)=\frac43\sqrt{\frac{C_\eta}{C_\tau}}

对所选系数，这段早时分支有负纵向压强。它是弛豫方程的数学延伸，图中会明确标为正压强范围以外。

讨论吸引子，必须看一族轨迹。把不同初始应力放在同一尺度化时间比较，报告散布怎样缩小。在它们尚未靠近以前，不能直接用一条普适线代替所有初态。换弛豫方程、换相空间坐标，都是新的科学选择。

2020 年的相空间论文进一步追问：一团初始状态怎样逐渐减少有效维数。它的图 1 提醒我们比较初态族。这里的少量轨迹演示约化 MIS 计算；更高维的动理学分析仍需另做。

完整例题

设某点 $r=0.1$ 。换元后 $f=2/3+0.1/4\simeq0.69167$ ，各向异性 $\mathcal A=0.45$ 。再换回方向压强：

\frac{P_L}{P_T}=\frac{1/3-0.1}{1/3+0.1/2}=\frac{14}{23}\simeq0.60870

纵坐标看起来已经很接近渐近值，方向压强仍可能相差不少。换成各向异性量后，这个差异更容易看见。

初始剪切差别很大的轨迹，会在最早时刻就挤在一起吗？

选论文系数预设，比较散布收缩前后的初态族，再查看标出的早时参考分支，并导出轨迹采样。

对照解释

这项基准检查的是一组限定的已发表方程和轨迹收敛。用于定位数学参考的负压强延伸，仍保留范围标记。

1. 直接按尺度化时间积分，为什么要求这只时钟单调前进？

查看思路

换元要除以 $\dot w=fw/\tau$ 。若它为零或反向，相同尺度化时间就不再唯一标记原来的固有时轨迹。这里正压强状态的 $f$ 为正。

2. 要声称复现了完整的 2020 年相空间论文，还需要哪些证据？

查看思路

还要冻结并复算论文指定的初态集合、相空间坐标、采样时刻、降维步骤和数值数据集。约化 MIS 曲线相符，只检验了其中一个不同范围的计算。

冻结参考包含八个尺度化时刻的样本，由独立 SciPy DOP853 求解论文方程得到。脚本记录容差和初始条件。将这些数值与轨迹导出比较，再加密两套计算。

Heller & Spaliński, Hydrodynamics beyond the Gradient Expansion: Resurgence and Resummation, arXiv:1503.07514v2
2015-08-28 第二版，式 (4)–(10)、图 1。限定数值基准采用式 (9) 及零 lambda-one 选择；未复现 Borel 重求和。
Heller, Jefferson, Spaliński & Svensson, Hydrodynamic attractors in phase space, arXiv:2003.07368v2
2020-09-23 第二版，图 1 与相空间讨论。用于理解动力学降维；未复现一万个初态的点云、PCA 或动理学数据集。