FR06 · L2 · 第 4 章，共 9 章

给剪切应力一段弛豫时间

流速发生变化，黏性应力需要时间才能跟上。把剪切应力也当成一个随时间演化的量，膨胀小片就有了对初态的记忆。有限响应时间也进入了相对论耗散流体的因果描述。

读前准备第 1–3 章定义了剪切正负号并推导能量守恒。耦合微分方程的意思是：两个量各自的变化率，都依赖它们当前的状态。

Sandbox Physics · 2026-10-27

让剪切量自己演化

仍取 $p=e/3$ 、 $P_L=e/3-\phi$ 、 $P_T=e/3+\phi/2$ 。一阶黏性关系会直接令 $\phi_{\rm NS}=4\eta/(3\tau)$ ，其中 $\eta$ 是剪切黏度。在一般相对论时空里，这种瞬时响应关系本身不能给出因果的初值理论。

这里选用 Müller–Israel–Stewart 弛豫方程，让剪切量在有限时间内接近目标，并保留共形纵向膨胀所需的稀释项。二次输运系数固定为零，与 Heller 和 Spaliński 在 2015 年基准中使用的简化系统一致。

\tau\dot e=-\frac43e+\phi,\qquad \tau_\pi\dot\phi=\frac{4\eta}{3\tau}-\frac{4\tau_\pi\phi}{3\tau}-\phi

圆点表示对固有时求导。末项让剪切量弛豫，中间项描述膨胀对应力的影响。

再定义 $\eta=C_\eta s_{\rm eq}$ 、 $\tau_\pi=C_\tau/T$ 。 $C_\eta=\eta/s_{\rm eq}$ 控制黏性强弱， $C_\tau$ 控制以温度为尺度的弛豫时间。教学模型把二者当常数；参数化中使用的熵，是能量匹配温度对应的平衡参考熵。

令 $r=\phi/e$ ，对比值求导，代入两条演化方程，再用 $\eta=4C_\eta e/(3T)$ 。含 $4r/3$ 的稀释项恰好相消，得到实验台实际积分的形式。

\frac{d\log e}{d\tau}=\frac{-4/3+r}{\tau},\qquad \frac{dr}{d\tau}=\frac{16C_\eta}{9C_\tau\tau}-\frac{rT}{C_\tau}-\frac{r^2}{\tau}

用对数能量可以保持数值上的正能量。温度始终由同一份能量换算，不能作为另一个互不相关的场单独演化。

平衡附近，这个共形剪切理论的纵向特征速度平方为 $c_{\rm char}^2=1/3+4C_\eta/(3C_\tau)$ 。要求不超过光速，得到 $C_\tau\ge2C_\eta$ 。默认值 $C_\tau=5C_\eta$ 满足此条件。它检查的是局域线性传播，远离平衡时仍要另查物理适用性。

各方向压强非负，要求 $-2/3\le r\le1/3$ 。方程在区间外可能仍然有平滑数值解。实验台会把这段标成弛豫方程的外推；它已经无法对应这里所要求的正的无质量粒子分布。

增大黏度或把初始时刻选得更早，可能先触发物理范围提示，数值程序却还运行正常。能解出曲线和曲线有恰当的微观解释，需要分别检查。

完整例题

此算例取 $\tau_0=e_0=1$ 、 $T_0=0.6$ 、 $C_\eta=0.16$ 、 $C_\tau=0.8$ 、 $r_0=0.25$ 。初始弛豫时间为 $\tau_{\pi,0}=1.333$ ，能量对数斜率是 $\dot{\log e}_0=-1.08333$ 。

\dot r_0=\frac{16(0.16)}{9(0.8)}-\frac{(0.25)(0.6)}{0.8}-(0.25)^2\simeq0.10556

初始剪切比仍在增大。膨胀可以比弛豫更快地推动各向异性，有限弛豫时间本身不保证压强单调趋同。

延长弛豫时间，初始应力的影响会保持得更久还是更短？

暂停纵向膨胀，展开“弛豫时间与模型”，只调“弛豫系数比”。固定黏度、起始膨胀尺度和初始剪切量，比较早期压强比；再还原系数比，只改初始剪切量。

对照解释

应力在有限时间内保留初态影响。与此同时，膨胀不断推动各向异性，后期曲线也受这项驱动支配。

1. 当 $r=1/3$ ，纵向和横向压强各是多少？

查看思路

$P_L=0$ ， $P_T=e/2$ 。剪切比继续增大就会得到负的纵向压强，越出这里无质量气体的正压强范围。

2. 为什么只解能量方程，还不能确定黏性物质的演化？

查看思路

能量斜率含纵向压强，纵向压强又含剪切量。应力怎样响应是额外物理输入。不同弛豫规律都能满足守恒，却给出不同的应力轨迹。

Baier et al., Relativistic viscous hydrodynamics, conformal invariance, and holography, arXiv:0712.2451v3
2008-07-15 第三版，§3.5 与 §6：Bjorken 化简、弛豫与因果性。实现模型将非线性的 lambda-one 系数设为零。
Heller & Spaliński, Hydrodynamics beyond the Gradient Expansion: Resurgence and Resummation, arXiv:1503.07514v2
2015-08-28 第二版，式 (4)–(10)、图 1。限定数值基准采用式 (9) 及零 lambda-one 选择；未复现 Borel 重求和。