FR06 · L4 · 第 9 章，共 9 章

换一种初态假设，输运参数的后验怎样移动

后验是给定观测、响应模型和先验之后的概率分布。同一份观测，换一种初态几何或非流假设，就可能偏爱不同黏度。固定一份合成基准后，我们可以重新计算这些移动，还能和已知的生成参数比较。

读前准备第 7–8 章定义了响应和排除自关联的双粒子信号。似然衡量模型预测与观测有多合拍，先验给出看这份观测之前的参数权重，贝叶斯公式把二者合起来。

Sandbox Physics · 2026-10-27

拟合之前，先把观测保存下来

第一版基准保存 4,500 个生成事件，三个类别各 1,500 个，每事件 $M=128$ 条径迹。随机种子为 602710，植入参数为 $C_\eta=0.16$ 、 $\kappa_0=0.34$ 。每事件四个同角双粒子簇加入指定的非流。数据文件保存各阶 Q 向量，足以复算这里使用的双粒子和四粒子诊断。

三类的无量纲尺寸—温度乘积为 $RT=(3.5,2.8,2.2)$ 。参考二阶偏心率是 $(0.22,0.31,0.41)$ ，三阶是 $(0.12,0.15,0.18)$ 。配上第 7 章的衰减规律，就确定了生成用的单粒子分布。这个基准让两个谐波共用一个逐事件随机旋转的朝向。

修改推断设置时，程序继续读取同一份已保存 Q 向量，不重新生成观测。这是合成教学数据，输入中没有被重新命名的 ATLAS、ALICE 或 RHIC 测量。

似然必须对应实际保存的统计量

每类、每阶分别平均精确的不同粒子双关联，得到六维观测向量 $\mathbf y$ 。使用已声明的双粒子簇比例 $d$ ，预测项为 $\mu_n=v_n^2+d(1-v_n^2)$ 。待推断参数是 $\boldsymbol\theta=(C_\eta,\kappa_0)$ 。协方差矩阵的对角项是均值的方差，非对角项记录两个谐波怎样一起起伏；逆矩阵把预测误差换成相应不确定性单位。

\log L(\boldsymbol\theta)=-\frac12(\mathbf y-\boldsymbol\mu(\boldsymbol\theta))^\mathsf T\Sigma^{-1}(\mathbf y-\boldsymbol\mu(\boldsymbol\theta))+\mathrm{constant}

协方差保留每类内部两个谐波的经验协方差，再除以事件数。不同类别独立，组成各自的协方差块。

再加入对角的模型误差方差 $\sigma_{\rm model}^2$ 。默认标准差为双粒子关联单位下的 $0.00012$ ，用来声明对预测误差的容许。本演示的协方差不随参数变化，省去的行列式项在整个网格上相同；若协方差依赖参数，就必须把该项保留下来。

归一化以后，积分掉另一个参数

选均匀先验 $0.03\le C_\eta\le0.35$ 、 $0.25\le\kappa_0\le0.44$ 。贝叶斯公式给出 $p(\boldsymbol\theta\mid\mathbf y)\propto L(\boldsymbol\theta)p(\boldsymbol\theta)$ 。实验台在 97×65 的网格上计算，用梯形边界权重归一化并求边缘分布。

p(C_\eta\mid\mathbf y)=\int p(C_\eta,\kappa_0\mid\mathbf y)\,d\kappa_0

把响应尺度积分掉，它的不确定性才会进入黏度边缘分布。若直接固定在最优值，就改成了条件更多的另一个问题。

加密网格，检查区间是否受离散化支配。再做闭合检验：生成参数已知，匹配模型的推断是否与它相容？单次闭合检验通过，说明这份基准的计算链条有效；若要研究区间覆盖率，还得重复生成许多独立样本。

先比较敏感性，再引用区间

保持观测不动，只换几何。假设初始椭圆形变更大，就可能用更强的黏性衰减补回来。不同类别、不同谐波的偏心率若按不同幅度改变，还会改变响应退化的形状。多阶谐波和多种尺寸由此提供了比单个幅度更多的信息。

再试着忽略双粒子簇。模型会尝试用更大的集体信号解释额外双关联；在这份固定数据里，推断黏度向下移动。扩大模型误差，则会容许更宽的一组预测。引用任何区间时，都要附上这些条件。

已发表的 QGP 提取会使用多阶段逐事件模拟、多种实验观测，还要追踪强子阶段并分析多项误差。Bernhard 等人的 2019 年结果和冻结的 JETSCAPE 研究给出了实例。这里复算的是合成响应推断，未复现它们的实验后验，也没有给出随温度变化的 QCD 黏度。

完整例题

同一份样本的三种拟合

参考几何、已知双粒子簇和默认模型误差下，基准的黏度后验均值约为 $0.1823$ ，中央 90% 区间约为 $[0.1267,0.2367]$ 。植入值 $0.16$ 落在区间内。

样本保持不变，改用较大椭圆形变假设，均值移到约 $0.2118$ ；若忽略非流，均值移到约 $0.1406$ 。这些数字属于第一版文件和声明过的网格，不是 QGP 黏度的实验估计。

有限随机样本的后验峰值未必落在生成真值上。应该一起比较样本误差、模型切换带来的移动和已知真值，并保存每次使用的设置。

先预测，再操作模型

观测关联不动，假设的初始椭圆形变变大，黏度会往哪边移动？

打开输运推断，在参考几何和替代几何之间切换，再关闭非流修正。每次都导出观测和后验设置。

输运参数推断 ↗

对照解释

文件身份保持不变。比较边缘分布的移动与宽度，同时查看拟合优度；某个假设下很窄的区间，换模型后仍可能明显挪动。

练习与解释性答案

1. 为什么单个谐波幅度会留下响应—黏度退化？

查看思路

取对数得 $\log(v_n/\varepsilon_n)=\log\kappa_0-n^2a_d C_\eta/(RT)$ 。一条方程在两个未知参数中只限定一条线。增加谐波和尺寸会改变系数，有机会缩小这条退化。

2. 若要进一步做真实数据的黏度分析，需要补上什么？

查看思路

需要标定过的初态与事件演化模型、与探测器一致的测量及其协方差、模型误差处理和外部验证。先冻结真实数据集、版本和选择条件，再做拟合。开放数据首页本身没有指定这些输入。

重新计算

下载第一版固定事件统计。生成脚本固定种子和单粒子分布；模型说明给出后验网格、协方差和敏感性检查。

冻结合成事件统计重生成合成样本后验积分源码模型、协方差与基准检查

来源与核读范围

Gardim et al., Mapping the hydrodynamic response to the initial geometry in heavy-ion collisions, arXiv:1111.6538v2
2012-03-05 第二版，§II–IV：偏心率、线性响应及高次谐波的非线性项。教学用指数衰减式另有定义，未由论文事件模拟拟合。
Bilandzic, Snellings & Voloshin, Flow analysis with cumulants: direct calculations, arXiv:1010.0233v2
2011-10-17 第二版，式 (3)–(4)、(11)–(18)：非流、Q 向量及均匀接受度下排除自关联的精确多粒子关联。
Bernhard, Moreland & Bass, Bayesian estimation of the specific shear and bulk viscosity of quark–gluon plasma (2019)
Nature Physics 已发表论文，图 2–4：真实数据的多阶段模型标定，用作方法对照。课程未导入其后验或黏度区间。
JETSCAPE Collaboration, Multi-system Bayesian constraints on the transport coefficients of QCD matter, arXiv:2011.01430v2
2020-11-06 第二版，§II、§V.3、§VI、§VIII：似然、模型误差、闭合检验与模型依赖。此处冻结阅读版本，不将它称为最新分析。