FR06 · L3 · 第 5 章，共 9 章

压强还不相等，流体描述为何已经可能有效

流体演化可能在压强相等之前，就已能预测能动张量。判断方法是拿当前应力与一条明确的流体预测比较。方向压强是否相等，是另一个问题；粒子是否已有完整的平衡分布，还需要更多信息。

读前准备第 2–4 章给出了能量匹配温度、剪切比及弛豫方程。梯度展开按宏观变化缓慢的程度排列修正项。

Sandbox Physics · 2026-10-27

先说清楚，要跟哪条预测比较

无量纲量 $w=\tau T$ 比较膨胀年龄和温度尺度。对这里的常系数弛豫方程，在较大 $w$ 下展开解，会得到一阶剪切项及二阶修正。

r_{\rm grad}^{(2)}(w)=\frac{16C_\eta}{9w}+\frac{32C_\eta C_\tau}{27w^2}

它由冻结的 2015 年来源式 (10) 换元得到；换元过程见下一章。这是截断近似，不能当作精确演化曲线。

残差很小，说明这条特定预测跟上了数值 MIS 应力。这是一项模型内部诊断。若要判断微观理论是否流体化，就要另算该微观理论的应力，再与流体预测比较；这份独立微观演化需要另外计算。

同一个剪切比给出 $P_L/P_T=(1/3-r)/(1/3+r/2)$ 。剪切为零，压强比才到一。膨胀中的黏性解即使已经忘记最初的瞬态，通常仍保持非零剪切。

\mathcal I=\left|\frac{P_L}{P_T}-1\right|,\qquad \mathcal R=|r-r_{\rm grad}^{(2)}|

第一项衡量压强不等，第二项衡量数值解与指定梯度截断的差异。这里的残差使用无量纲剪切比的绝对差。

给残差选好容差，才能定义越过阈值的时间。改容差、改梯度阶数，或者改输运系数，交点都可能移动。压强各向同性使用另一条判据，通常在另一个时刻达标。

能量匹配温度把当前能量密度换成一个数。许多不同的非平衡粒子分布可以有相同能量，方向压强却很不一样。即使能动张量完全相同，分布的更高阶矩仍可能不同。

局域热平衡要求粒子满足特定的平衡分布，以及相应守恒量和统计规律。应力残差小或三个压强相等，都不足以单独推出这件事。实验台将温度标成能量尺度，将熵标成平衡参考。

完整例题

在 $w=3$ ，取 $C_\eta=0.16$ 、 $C_\tau=0.8$ ，二阶公式给出 $r_{\rm grad}^{(2)}\simeq0.11167$ 。假设某条数值轨迹在这个点恰好等于它。

\mathcal R=0,\qquad \frac{P_L}{P_T}=\frac{1/3-0.11167}{1/3+0.11167/2}\simeq0.570

此点的指定预测残差为零，纵向压强却只有横向的约 57%。这是说明概念的算例，不是实验测量。

若把梯度近似推到更小的膨胀变量，它本身可能给出负压强。这提示我们检查截断近似的范围，不能把负压强解释成成功恢复各向同性。

不同初态的轨迹会先靠近共同的晚时行为，还是先达到接近一的压强比？

打开吸引子实验台，在同一尺度化时间比较轨迹散布、梯度残差与压强比，再换较慢弛豫的预设重复。

对照解释

初态记忆衰减和压强相等各有自己的速度。比较时，要同时指出使用的模型与判据。

1. 完全不碰撞的分布，能在某一刻具有相等的纵向与横向压强吗？

查看思路

能，各向同性的自由流初态就是例子。以后自由流会把压强拉开。单次各向同性的应力快照，不能确定碰撞历史，也不能证明热平衡。

2. 为什么报告流体化时间时，必须附上预测公式和容差？

查看思路

这个时间由可接受的预测误差定义。不交代近似阶数与误差标准，两份时间即使来自同一轨迹，也可能在回答不同的问题。

Heller & Spaliński, Hydrodynamics beyond the Gradient Expansion: Resurgence and Resummation, arXiv:1503.07514v2
2015-08-28 第二版，式 (4)–(10)、图 1。限定数值基准采用式 (9) 及零 lambda-one 选择；未复现 Borel 重求和。
Florkowski, Heller & Spaliński, New theories of relativistic hydrodynamics in the LHC era, arXiv:1707.02282v3
2017-10-19 第三版，§5.1、§5.3、§6、§7.4；用于符号与动理学、流体近似范围。此项是综述，并非独立实验数据。