FR06 · L1 · 第 2 章，共 9 章

沿着膨胀物质自己的时钟推演

一片向外膨胀的物质会被拉稀，还会用纵向压强对相邻物质做功。这两项一起决定能量密度下降多快。选用跟着物质走的时钟，再利用纵向对称性，时空问题就能缩成一个常微分方程。

读前准备第 1 章介绍了局域静止系和方向压强。这里要用到导数表示变化率，以及“压强乘体积变化等于做功”。

Sandbox Physics · 2026-10-27

别把实验室的同时当成物质的同龄

越靠近束流两端，小片向外运动越快。若沿束流换一个匀速观察者，局域演化看起来仍相同，那么各小片应该按自己的年龄比较。这个近似适用于中心快度附近，舍去了碰撞边缘和沿束流的起伏。

把光速设为一，用固有时 $\tau$ 表示年龄，用时空快度 $\eta_s$ 标记小片位置。时空快度是位置坐标，和探测器测得的粒子动量快度要分开。

\tau=\sqrt{t^2-z^2},\quad \eta_s=\frac12\log\frac{t+z}{t-z},\quad t=\tau\cosh\eta_s,\quad z=\tau\sinh\eta_s

这些坐标取在碰撞点的未来光锥内。固定时空快度，就沿着一条匀速向外的世界线跟踪同一小片。

直射线对应固定时空快度，每条彩色双曲线连接同龄小片；它们在实验室的时刻不同。图为几何示意。

Bjorken 流速取 $v_z=z/t$ 。固定 $\eta_s$ 对固有时求导，就是跟着物质看变化。所谓纵向 boost 不变，是指同龄小片的局域标量与 $\eta_s$ 无关。

取横截面积 $A_\perp$ 和一小段固定快度宽度 $\Delta\eta_s$ 。在等固有时切片上，它的随体体积是 $V=A_\perp\tau\Delta\eta_s$ 。本近似里横截面积不变；沿束流伸长时，静止系能量 $eV$ 的变化满足 $d(eV)=-P_L\,dV$ 。

\frac{d(e\tau)}{d\tau}=-P_L\quad\Longrightarrow\quad \frac{de}{d\tau}=-\frac{e+P_L}{\tau}

对乘积求导，得到能量密度变化和体积变化两项。右侧额外的压强项，表示小片向邻片做功传走的能量。

这条方程来自给定对称性下的能动守恒，压强分方向时仍然成立。要算下一刻，还需要知道 $P_L$ 怎样变化。为它补上演化规律，方程才足以预测后续变化；这一步叫选择闭合关系。

实验台把 $\tau_0=1$ 、 $e_0=1$ 作为参考尺度。共形状态方程写成 $e=aT^4$ ，能量匹配温度满足 $T/T_0=(e/e_0)^{1/4}$ 。常数 $a$ 决定能量密度与温度怎样对应。

自然单位取 $\hbar=c=k_B=1$ ，此时 $w=\tau T$ 无量纲。若时间用飞米、温度用 GeV，计算乘积时要除以 $\hbar c\simeq0.1973\,\mathrm{GeV\,fm}$ 。无量纲曲线本身没有指定真实碰撞的绝对能量密度。

完整例题

取 $t=5,z=3$ ，时间和距离使用光走过的同一套单位。小片年龄是 $\tau=\sqrt{25-9}=4$ ，时空快度是 $\eta_s=\log2\simeq0.693$ ，流速为 $v_z=0.6$ 。中心小片在 $t=4,z=0$ 就到达了相同年龄。

再设某一刻 $P_L/e=0.1$ 。守恒式给出 $d\log e/d\log\tau=-1.1$ 。如果这段时间内压强比不变，年龄翻倍后密度变成 $2^{-1.1}\simeq0.467$ 倍。弛豫模型的压强比随时间变化，要得到整段演化，就要把不断变化的斜率积分起来。

先猜一猜：哪个模型若一直保持较大的纵向压强，能量密度会降得更快？

在纵向膨胀实验台比较同一固有时的三条能量曲线，再调时间检查它们的纵向压强。

对照解释

每条曲线都会因体积增大而下降；纵向压强越大，做功额外传走的能量越多。

1. 如果整个演化中 $P_L=0$ ，什么量保持不变？

查看思路

守恒式成为 $d(e\tau)/d\tau=0$ ，故 $e\tau$ 不变。每段固定快度区间的能量守恒，因为没有纵向压强做功。

2. 将 $\tau=0.5\,\mathrm{fm}/c$ 、 $T=0.35\,\mathrm{GeV}$ 换成无量纲乘积。

查看思路

$w=(0.5)(0.35)/0.1973\simeq0.887$ 。若直接写成 0.175，就把实验单位和自然单位混在了一起。

J. D. Bjorken, Highly relativistic nucleus–nucleus collisions: The central rapidity region (1983)
原始纵向 boost 不变时空图景、固有时与时空快度。正文另行推导压强做功方程。
Florkowski, Heller & Spaliński, New theories of relativistic hydrodynamics in the LHC era, arXiv:1707.02282v3
2017-10-19 第三版，§5.1、§5.3、§6、§7.4；用于符号与动理学、流体近似范围。此项是综述，并非独立实验数据。