大爆炸核合成：最初几分钟里的轻元素

温度和膨胀速度怎样决定今天的氦和氘？ 膨胀决定时间，温度决定关口。大约一秒时中子不再和质子来回转换，之后一边衰变一边等宇宙冷下来；三四分钟后氘不再被光子打碎，剩下的中子几乎都进了氦。重子越密，氘烧掉越多；膨胀越快，留下的中子和氦越多。

拖动宇宙时钟走过最初几小时，看自由中子先衰变、再等待，最后锁进氦核。改变重子密度和额外辐射，看最终的氦、氘和锂怎样移动。

氦四质量分数

Y_p

$0.242$

氘与氢之比

\mathrm{D/H}

$2.56\times10^{-5}$

锂七与氢之比

{}^{7}\mathrm{Li/H}

$4.49\times10^{-10}$

温度为

10^{9}\,\mathrm{K}

时的中子与质子之比 $0.153$

模型假设

模型跟踪八种轻核素和十二个反应，温度从8.6 MeV降到0.86 keV。核反应率采用Serpico等人2004年的拟合式，只在固定温度区间内直接使用，区间外按伽莫夫规律外推或保持常数。中子与质子互变采用玻恩近似，按878.4秒中子寿命归一，不含辐射修正、有限核子质量修正和弱磁修正。中微子在正负电子湮灭前瞬间脱耦，三种中微子对应的有效数目正好是三，而不是3.044；额外辐射按中微子一样的能量密度加入。化学势和等离子体修正都取零。这些近似让氦质量分数比完整计算低约0.005。观测丰度取自PDG 2025综述，模型曲线是另一组预测。画面里的盒子按比例放400个核子，氘、氦三和锂太稀少，盒子里看不到。

最初几小时留下了什么

中子

n

质子

p

氘

\mathrm{D}

{}^{3}\mathrm{He}+{}^{3}\mathrm{H}

氦四

{}^{4}\mathrm{He}

{}^{7}\mathrm{Li}+{}^{7}\mathrm{Be}

质量分数随时间的变化

模型计算

氦一形成，中子就骤然减少。

最终丰度随重子密度的变化

曲线为模型；灰带为观测值（PDG 2025）；绿带来自微波背景

锂七的计算值约是恒星测值的三倍。

哪些核反应率最影响结果

模型：每个反应率移动一倍标准误差（Serpico 2004）

$\mathrm{d}(p,\gamma){}^{3}\mathrm{He}$ 决定了氘误差的大部分。

核心问题: 为什么普通物质里差不多四分之一的质量变成了氦，又为什么还剩下一点氘？
一句话直觉: 氦数的是一直活到氘能站稳那一刻的中子。等待多久由膨胀决定，所以辐射越多，氦越多。氘是没烧完的燃料：重子越多，烧得越彻底，所以 $\mathrm{D/H}$ 能用来测重子密度。

核心数学模型

中子和质子停止交换

\left.\frac{n}{p}\right|_{\mathrm{eq}}=\exp\!\left(-\frac{Q}{k_BT}\right),\qquad Q=(m_n-m_p)c^2=1.293\,\mathrm{MeV}

弱反应很快时，这个比值跟着温度走。温度降到约 $k_BT\approx0.7\,\mathrm{MeV}$ 时，弱反应赶不上膨胀，比值不再跟着温度走，停在大约五个质子配一个中子。之后自由中子不断衰变，比值慢慢下降；中子寿命是 $\tau_n\approx879\,\mathrm{s}$ 。

辐射决定膨胀率

H^2=\frac{8\pi G}{3}\,\frac{\pi^2}{30}\,g_*\frac{(k_BT)^4}{(\hbar c)^3c^2},\qquad g_*=2+\frac{7}{8}\left[4+2\left(3+\Delta N_{\mathrm{eff}}\right)\left(\frac{T_\nu}{T}\right)^{4}\right]

正负电子湮灭之前，能量密度由光子、正负电子对和中微子组成。每多一种类似中微子的粒子， $\Delta N_{\mathrm{eff}}=1$ 膨胀就更快：弱反应冻结得更早，衰变掉的中子更少，氦就更多。在这个模型里，每多一种，氦质量分数约增加0.013。

氘为什么要等

\frac{X_d}{X_nX_p}\propto\eta\left(\frac{k_BT}{m_Nc^2}\right)^{3/2}\exp\!\left(\frac{B_d}{k_BT}\right),\qquad B_d=2.224\,\mathrm{MeV}

每个重子对应十亿以上个光子。即使 $k_BT$ 已经远低于氘核结合能，少数高能光子仍能把氘核打碎。很小的 $\eta$ 让氘一直等到约 $k_BT\approx0.07\,\mathrm{MeV}$ ，也就是大爆炸后几分钟。直到这时，通往氦的反应链才能开始。

氦数的是幸存的中子

Y_p\approx\frac{2\,(n/p)}{1+n/p}

瓶颈打开时还自由的中子，几乎都进了含两个中子、两个质子的氦四。若 $n/p\approx1/7$ ，就得到 $Y_p\approx0.25$ 。本Lab的完整网络在三种中微子时给出0.242，相当于瓶颈打开时 $n/p\approx0.138$ 。

常见难点

温度低于结合能还不够

容易误解温度一降到氘的结合能2.2 MeV以下，氘就形成了。

正确理解光子比重子多十亿倍以上。光子能量分布的高能尾巴会一直打碎氘核，直到温度再降低约三十倍。

重子更多，氘反而更少

容易误解宇宙越稠密，每种元素都该造得越多。

正确理解氦只随密度略微增加；氘却下降得很陡，因为物质越密，氘被烧成氦三和氦四越快。“重子稀少”预设留下的氘约是我们宇宙的六倍。

锂的曲线是预测，不是拟合

容易误解模型调好了参数，让每种元素都和观测对上。

正确理解输入只有重子密度和辐射，二者都由宇宙微波背景独立定出。用这两个值，氦和氘与观测相符，锂七却比老年晕族恒星里测到的高约三倍。这个差距至今没有定论。

动手实验

01
先看一遍最初几小时
让“我们的宇宙”从头播放，再沿宇宙时钟拖到约200秒。
你会看到： 蓝色中子一开始缓慢变少。到三四分钟时，它们和质子结合，几十秒内盒子里就满是金色氦核。
02
改变重子密度
比较“重子稀少，氘留下来”和“重子稠密，氘被烧掉”，再慢慢拖动重子滑块。
你会看到： $\mathrm{D/H}$ 从前者到后者下降约三十倍，氦质量分数却只从0.230变到0.250。观测到的氘带与曲线相交的位置，紧挨着绿色的微波背景带。
03
加快和放慢膨胀
比较“额外辐射，氦更多”和“膨胀放慢，氦更少”。
你会看到： 温度为 $10^{9}\,\mathrm{K}$ 时的中子与质子之比从0.143变到0.165，氦质量分数从0.228变到0.261。多一种粒子，氦的变化约是观测一倍标准误差的四倍，所以辐射只能有很小的改变。
04
找出关键的反应率
回到“我们的宇宙”，看画面下方的核反应率图。
你会看到： 把 $\mathrm{d}(p,\gamma){}^{3}\mathrm{He}$ 按发表误差移动，氘约变化0.7%；锂七对这个反应和 ${}^{3}\mathrm{He}(\alpha,\gamma){}^{7}\mathrm{Be}$ 最敏感。这些误差远不足以填平锂的差距。

大爆炸核合成：最初几分钟里的轻元素

最初几小时留下了什么

跟着中子从第一秒走到第三分钟

核心数学模型

中子和质子停止交换

辐射决定膨胀率

氘为什么要等

氦数的是幸存的中子

常见难点

温度低于结合能还不够

重子更多，氘反而更少

锂的曲线是预测，不是拟合

动手实验

先看一遍最初几小时

改变重子密度

加快和放慢膨胀

找出关键的反应率

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