重子密度和额外辐射怎样移动轻元素丰度

本章以中子和质子什么时候停止互相转变和氘为什么要等宇宙冷下来为基础。需要会对数，并把导数理解为两个小变化之比；标准差和独立误差的平方和在用到时解释。读完后，你应当能用两次计算求出对数敏感度，把观测丰度反推成带误差的重子密度，把氦的测量变成对额外辐射的限制，并由反应率误差建立误差预算。

对数敏感度

设 $X$ 是某种丰度，$p$ 是一个输入量：重子光子比 $\eta$、类似中微子的粒子种数 $N_\nu$、中子寿命，或某个反应率。对数敏感度

表示其余输入不变时，$p$ 每变化百分之一，$X$ 变化百分之几。如果 $S$ 在一段范围内不变，那里就有 $X\propto p^{S}$。敏感度与单位无关，还能把小的相对变化写成线性求和：

方法篇用中心差分计算每个 $S$：把输入分别乘以 $1.01$ 和 $0.99$ 各算一次，再用 $\ln X$ 的变化除以 $\ln(1.01/0.99)$。

例题：用两次计算求中子寿命的敏感度

保存的计算在 $\tau_n=860\,\mathrm s$ 和 $900\,\mathrm s$ 时给出 $Y_p=0.23861$ 和 $0.24675$。于是

百分之一中心差分给出 $0.738$。Fields、Olive、Yeh 和 Young 在 2019 年预印本的表 II 中列出 $0.729$，是用他们的完整程序在 $\eta_{10}=6.129$ 处算的。

两者相差不超过 $0.04$。这是对教程网络的检验，不是新证据：两个计算用的是同样的物理，教程的反应率还更旧。这张表已经说明了每种元素的用处。氘对 $\eta$ 的指数最大；氦对 $\eta$ 的指数很小，对 $N_\nu$ 的却不小；锂七随 $\eta$ 上升，因为在高密度下它先以铍七的形式生成，之后铍七俘获一个电子才变成锂七。

用氘称重子

粒子物理评述 2025 年版 根据十二个类星体吸收系统，给出推荐值

例题：从氘丰度反推重子密度

网络在 $\eta_{10}=6.12$ 处给出 $\mathrm{D/H}=2.548\times10^{-5}$。在这一小步里把敏感度当作常数：

直接在网络上二分求解，同样得到 $6.180$。误差有两个独立来源。观测误差是 D/H 的 $0.29/25.08=1.16\%$，对应 $\eta$ 的 $1.16/1.618=0.71\%$；预言的反应率误差（下文推导）是 D/H 的 $0.69\%$，对应 $\eta$ 的 $0.43\%$。独立误差的方差相加，所以误差按平方和开方合成：

评述给出 $(\eta_{10})_{\mathrm{SBBN}}=6.040\pm0.118$（式 24.5），并说明这个范围基本由 D/H 决定；不借助核合成的微波背景结果是 $6.104\pm0.058$。教程的数值比评述的核合成值高 1.2 个标准差。差别来自给定 $\eta$ 下预言的 D/H，也就是核反应率：教程沿用 2004 年 Serpico 的拟合，评述的数值来自更新的分析，本章没有复现。表 4.1 说明了反应率为什么这么要紧：$d(p,\gamma){}^3\mathrm{He}$ 改变 1%，D/H 就变化三分之一个百分点，推出的 $\eta$ 变化约五分之一个百分点。

用氦限制额外辐射

任何额外的相对论性能量，折算成多出来的 $\Delta N_\nu$ 种中微子，都会加快膨胀。网络在 $N_\nu=3$ 处的 $S_{Y_p,N_\nu}=0.165$ 可以换成绝对斜率

与评述中的 $\Delta Y_p\simeq0.013\,\Delta N_\nu$ 一致。直接取 $\Delta N_\nu=1$ 计算，得到 $0.25485$，增加 $0.0125$；斜率慢慢变小，因为敏感度是对 $\ln N_\nu$ 定义的。

例题：只用一项测量得到的限制

评述给出的氦丰度是 $Y_p=0.245\pm0.003$（式 24.3）。三种中微子、取微波背景重子密度的完整物理预言是 $Y_p=0.24691\pm0.00018$（Fields 等人，式 22）。于是

双侧 95% 范围约为 $-0.59<\Delta N_\nu<0.30$。多出一整种中微子，距离中心约五个标准差。评述把氦和氘放在一起分析，得到 $N_\nu=2.898\pm0.141$（式 24.9），即 $\Delta N_\nu=-0.10\pm0.14$。

如果换成教程自己的预言 $Y_p=0.2424$，同样的算术给出 $\Delta N_\nu=+0.20$。这 $0.34$ 种的差别，完全来自教程略去的弱反应率修正，第一章末尾讨论过。对新物理的限制，可靠程度取决于拿来比较的绝对预言。

传播反应率误差

每个核反应率拟合都附有随温度变化的一倍标准差相对误差 $\sigma_i=\delta f_i/f_i$。在一阶近似下，如果各反应率误差相互独立，

方法篇比“一个数乘一个敏感度”做得细一点：它把每个反应率按完整的、随温度变化的误差移动，再重算网络。中子寿命也计入，假定误差为 $0.5\,\mathrm s$。

为了不依赖线性公式，方法篇还随机抽取了 200 组反应率重复计算。D/H 的离散为 0.72%，锂七为 1.78%，与平方和的结果接近。

锂这一列回答了第一篇文章留下的问题。评述给出贫金属晕族恒星的 $\mathrm{Li/H}=(1.45\pm0.25)\times10^{-10}$（式 24.4），以及核合成加微波背景的预言 $(4.72\pm0.7)\times10^{-10}$（式 24.10），二者相差 3.3 倍。$S=0.963$ 意味着，若只靠 ${}^3\mathrm{He}(\alpha,\gamma){}^7\mathrm{Be}$ 填平这个差距，它的反应率要降低约 $3.3^{1/0.963}\approx3.4$ 倍。而在铍七形成的温度下，这个拟合给出的误差只有 1% 到 2%。约 70% 的降幅，是这个误差的 35 到 70 倍。

Lab 任务：先称重子，再检验辐射

1. 预测。动手前，用表 4.1 估算：要让 D/H 变化 10%，重子滑块需要移动多少；要让 $Y_p$ 变化 $0.003$，辐射滑块需要移动多少。
2. 改变。拖动重子滑块，直到氘的曲线穿过观测带的中心。然后把它放回默认值，拖动辐射滑块，直到 $Y_p$ 达到 $0.245$。
3. 比较。第一个读数应接近 $\eta_{10}=6.18$；Lab 的时间步更粗，可能使它移动约 $0.01$。第二个读数与例题中的 $+0.20$ 比较。
4. 解释。说明为什么辐射滑块不仅移动氦，也移动 D/H；再说明为什么第二个读数不能当作对额外辐射的测量结果。

习题

1. 用表 4.1 预测 $\eta_{10}$ 从 $6.12$ 变到 $10$ 时 ${}^7\mathrm{Li/H}$ 的变化。保存的计算从 $4.51\times10^{-10}$ 变到 $1.09\times10^{-9}$。为什么预测有偏差？
2. 未来的巡天把 D/H 的误差减半到 $0.145\times10^{-6}$，反应率误差不变。$\eta_{10}$ 的新误差是多少？那时哪个误差来源占主导？
3. 额外辐射也会提高 D/H。用表 4.1 求出抵消 $\Delta N_\nu=0.5$ 引起的 D/H 变化所需的 $\Delta\eta/\eta$，再求由此带来的氦变化。解释为什么单靠氘无法同时测出 $\eta$ 和 $N_\nu$。
4. 迁移。一位同事的程序在标准情形给出 $Y_p=0.2440$。他与 $Y_p=0.245\pm0.003$ 比较，报告了 $\Delta N_\nu\approx0.08$ 的“证据”。在相信这个数之前，你会检查哪些东西？

这些数字说明了什么，没说明什么

本章所有模型数值都来自教程网络，保存在 teaching-values.json 和 expected.json 中。它们展示敏感度和误差预算是怎样建立的，并不是对 $\eta$ 或 $N_\nu$ 的新测定。已发表的测定使用更完整的弱反应率处理、更新的反应率，以及与微波背景的联合似然。导读读懂原初核合成对额外辐射和锂问题的证据会逐表走读这些分析。